Hace una serie con delimitada sumas parciales converge si los sumandos ir a $0$?

Question

Vamos $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$ ser una secuencia de números reales. Supongamos que la secuencia de $(S_n)$ es acotado, donde $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ y $a_n \to 0$$n \to \infty$. ¿Esto implica que $(S_n)$ converge?

Answer 1

Esto no es cierto. Considerar la secuencia de $(a_n)$ dada por $$ a_0, a_1, a_2, \ldots = 1, \underbrace{-\frac12, -\frac12}_2, \overbrace{\frac13, \frac13, \frac13}^3, \underbrace{-\frac14, -\frac14, -\frac14, -\frac14}dimm_4, \overbrace{\frac15, \frac15, \frac15, \frac15, \frac15}^5, \ldots. $$ Entonces claramente $a_n \to 0$ $n \to \infty$ $S_n$ es acotada entre $0$$1$. Sin embargo, hay una infinidad de $n$ que $S_n=0$ y una infinidad de $n$ que $S_n = 1$, lo $(S_n)$ no es convergente.

Si todos los $a_n$ son positivas, a continuación, $S_n$ debe ser convergente, porque, a continuación, $(S_n)$ es limitada y el aumento de la secuencia.

Answer 2

(1,-1/2,-1/2,1/4,1/4,1/4,1/4,-1/8,-1/8,-1/8,-1/8,-1/8,-1/8,-1/8,-1/8,...).

Esta secuencia converge a 0 y la serie oscila entre el 1 y el 0 (Considerar S_{1+2+...+2^n})