la orientación de la preservación mapa

Question

Deje $f:X\rightarrow Y$ ser un diffeomorphism entre conectada orientada a los colectores. $f$ es de la orientación de la preservación de a $p\in X$ si la inducida por el mapa de $df_{p}:T_{p}X\rightarrow T_{f(p)}Y$ es de la orientación de la preservación; de manera similar $f$ es de la orientación de la inversión de al $p$ si la derivada es la orientación de la inversión. ¿Por qué debe $f$ ser de la orientación de la preservación de todas partes o la orientación de la inversión, que en todas partes?

Creo que es cierto que los conjuntos de puntos donde se $p$ es de la orientación de la preservación y la orientación de la inversión, que están abiertos (lo que implica que el resultado), pero no puedo demostrarlo.

Answer 1

Deje $l$ $m$ ser dos de la orientación en $M$. En cualquier punto de $p\in M$, $l_p$ y $m_p$ son de la orientación de las $T_p(M)$. Están ya sea en el mismo o en orientaciones opuestas. Definir una función $f:M\rightarrow\{1,-1\}$ por $$f(p)=1 \text{if } l_p=m_p$$ and $$f(p)=-1 \text{if } l_p=-m_p$$ Now fix a point $p\in M$. By continuity there exist a connected neighborhood $U$ of $p$ on which $l=[(X_1,\dots,X_n)]$ and $m=[(Y_1,\dots,Y_n)]$ for some continuous vector fields $X_i$ and $Y_j$ on $U$. Then there exist a matrix valued function $A=[a_i^j]:U\rightarrow GL_n(\mathbb{R})$ such that $Y_j=\sum_{i}a_j^iX_i$ where the entries $[a_j^i]$ can be proved continuous so the determinant $\det A:U\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ is also continuous. By intermediate value theorem, the continuous no where vanishing function $\det a$ on the connected $U$ is everywhere positive or everywhere negative. Hence $l=m$ or $l=-m$ on $U$. This proves that $f:M\rightarrow \{1,-1\}$ is locally constant. Since a locally constant function on a connected set is constant so $l=m$ or $l=-m$ on $M$