Prueba simple de la regla de la cadena a través de $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{dx}\biggr|_{x=x_1} + k$

Question

En una conferencia en línea (enlace a Youtube), el profesor demuestra la Regla de la Cadena mediante la siguiente instrucción:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{dx}\biggr|_{x=x_1} + k$$

$$\Delta y = \frac{dy}{dx}\biggr|_{x=x_1} \Delta x+ k\Delta x$$ donde $$\lim_{\Delta x \to0}k=0.\\[0.4in]$$

Entonces él dice que $x$ $y$ son funciones de una tercera variable $t$, así:

$$\begin{align*} \frac{\Delta y}{\Delta t} &= \frac{dy}{dx}\biggr|_{x=x_1} \frac{\Delta x}{\Delta t}+ k\frac{\Delta x}{\Delta t}\\[0.2in] \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta t} &=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{dy}{dx}\biggr|_{x=x_1} \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}+ \lim_{\Delta t \to 0}k \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}\\[0.2in] \frac{dy}{dt} &= \frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt}+ 0\cdot\frac{dx}{dt} \end{align*}$$

La parte que no entiendo es cuando dice que el último término en la última línea, no es $0$ porque de $k$, pero también porque, como $\Delta t \to 0$, $dx$ enfoques $0$.

Pero, ¿por qué? No entiendo cómo la $dx$ se aproxima a cero como $dt$ enfoques $0$? ¿No debería ser al revés? Que $dx/dt$ debe aumentar sin límite como $dt$ enfoques $0$?

También, otra pregunta... ¿cómo se nos permite definir de manera simple $\lim_{\Delta x \to0}k=0$? A pesar de que hace sentido gráficamente, pero desde $k$ es un número, no que violan el hecho de que $\lim_{\Delta x \to0}c=c$? es algo para hacer con $\Delta x$?

Answer 1

En última instancia, creo que la razón es que el $x$ es una función derivable de $t$, que significa que a medida que $\Delta t\rightarrow 0$, $\Delta x\rightarrow 0$. Que dijo en realidad no me gusta este enfoque a la regla de la cadena. Es un poco improvisado.

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Siento que esta es la mejor manera de hacer la regla de la cadena (lo cual es mucho más clara desde el principio, creo). Deje $f$ $g$ ser diferenciable y $g$ no constante. Si $g$ es la función constante, entonces claramente $(f\circ g)'$ es cero debido a que $f\circ g$ sería constante. Tan trivialmente cierto es que $(f\circ g)' = f'(g(x))g'(x)$ desde $g' = 0$. Voy a suponer que están definidos en todos los de $\mathbb{R}$ para evitar molestias con los dominios y rangos.

Entonces deseamos evaluar $(f\circ g)'(x)$. A partir de la definición de la derivada, tenemos

$$ (f\circ g)'(x) = \frac{d}{dx}f(g(x)) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}.$$

Vamos a multiplicar por una forma inteligente de $1$ a facilitar las cosas en nosotros mismos, en particular, se multiplicará por

$$\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{g(x+\Delta x)-g(x)}.$$

Aquí es donde se requiere que el $g$ no ser constante. Si fuera constante, la expresión anterior, no tendría ningún sentido ya que sería dividiendo $0$$0$. Tenga en cuenta que esto se asemeja a los términos dentro de $f$. Esto es , no por accidente. Además, tenemos que $g(x+\Delta x)\approx g(x)+g'(x)\Delta x$ pequeña $\Delta x$ (esto es lo que la derivada es para aproximaciones lineales). Si $g'(x) = 0$, $g(x+\Delta x)\approx g(x)$ y en este caso, tenemos

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x} = 0.$$

De nuevo, esto es claramente igual a $f'(g(x))g'(x)$ desde $g' = 0$. Si $g'(x)\neq 0$, podemos hacer uso de nuestra forma inteligente de $1$ para obtener

$$(f\circ g)'(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}.$$

Ahora ambas piezas se parecen inquietantemente un derivado (que es lo que queremos), excepto que la primera pieza ha $g$. Sin embargo, si $\Delta x\rightarrow 0$, sabemos que $g(x+\Delta x)\rightarrow g(x)$ desde $g$ es derivable (y por lo tanto continua). Claramente $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}$ existe desde $g$ es diferenciable de modo que sólo necesitamos argumentar que $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(g(x+\Delta x)-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}$ está bien definido. Por límite de teoremas sabemos que si ambos límites existe, se puede distribuir el límite de cada pieza y evaluar.

Así que vamos a afirmar que

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}$$

está bien definido. Utilizando nuestra aproximación para $g(x+\Delta x)$ desde arriba, tenemos

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(g(x)+g'(x)\Delta x)-f(g(x))}{g(x)+g'(x)\Delta x-g(x)}.$$

La cancelación de términos apropiados tenemos

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(g(x)+g'(x)\Delta x)-f(g(x))}{g'(x)\Delta x}.$$

La repetición de la misma lógica que el anterior y con $f(g(x)+g'(x)\Delta x)$,$f(g(x)+g'(x)\Delta x)\approx f(g(x))+f'(g(x))g'(x)\Delta x$. Y así obtenemos

$$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(g(x))+f'(g(x))g'(x)\Delta x-f(g(x))}{g'(x)\Delta x} = f'(g(x)).$$

Desde el límite de la primera pieza tiene sentido y el límite de la segunda pieza tiene sentido, podemos distribuir los límites para conseguir que

$$(f\circ g)'(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{g(x+\Delta x)-g(x)}\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} = f'(g(x))g'(x)$$

nuestros cálculos anteriores. Así, en cada caso, que surgió tuvimos que $(f\circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x)$ y así llegamos a la conclusión de que la regla de la cadena se mantiene.