Epsilon-Delta prueba para un límite de una función

Question

$\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2+4}{x+2}=2$

Entiendo que la estructura de la epsilon delta prueba, pero necesito ayuda con el scratchwork/setup.

El uso de|$\frac{x^2+4}{x+2}-2$| $<\epsilon$ , puedes factor y te dejan con|$x-4$|$< \epsilon$. Lo que estoy atascado en la que está resolviendo para $x-a$ o $x-2$.

Puedo hacer algo con el Triángulo de la Desigualdad decir|$x-2-2$| $\le$ |$x-2$|$ \;+\; 2$ $< \epsilon$

Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

$$\left|\frac{x^2+4}{x+2} -2 \right|=\left|\frac{x^2-2x}{x+2} \right|=\frac{|x||x-2|}{|x+2|}$$

WLOG, podemos asumir que $\delta < 1$,

Por lo tanto, si $|x-2| < \delta$,$2-\delta < x < 2+\delta$, lo que implica que $x$ entre $1$ $3$ mientras $x+2$ entre $3$$5$.

Por lo tanto, $$\left|\frac{x^2+4}{x+2} -2 \right|\leq \frac{3|x-2|}{3}=|x-2|$$

Comentario acerca de su triángulo de la desigualdad de enfoque:

lo que si $\epsilon < 2$.

Answer 2

Desde\begin{align}\left|\frac{x^2+4}{x+2}-2\right|&=\left|\frac{x^2-2x}{x+2}\right|\\&=\frac{|x|}{|x+2|}|x-2|,\end{align}se puede observar que el$|x-2|<1\implies|x|\leqslant|x-2|+2<3$$|x+2|=\bigl|4-(-x+2)\bigr|>3$. Por lo tanto$$\frac{|x|}{|x+2|}<1.$$So, if you fix $\varepsilon>0$ and if you take $\delta=\min\{1,\varepsilon\}$, then$$\frac{|x|}{|x+2|}|x-2|<\varepsilon.$$