¿Cómo llamamos a la consecuencia de cuña a junto a las columnas de una matriz?

Question

Podemos cuña junto a las columnas de una matriz cuadrada para calcular su determinante. Más en general, en el exterior producto de las columnas de a $b \times a$ matriz nos indica que el determinante de cada una de las $a \times a$ submatriz. Esto también puede ser utilizado para probar la dependencia lineal entre las columnas, y para calcular el rango.

Pregunta. El resultado de acuñamiento junto a las columnas de una matriz $A$ en el orden en que aparecen es llamado [lo] de $A$?

Yo también estoy interesado en las respuestas de la forma: "Realmente, esto debe ser pensado como algo que usted puede hacer para un lineal de transformación, y su llamado [cualquier cosa] de un lineal de transformación."

Answer 1

A riesgo de simplificar demasiado las cosas, esto tiene toda la información de la imagen.

Cuando cuña juntos $k$ vectores, se obtiene una descripción de la $k$-dimensiones subespacio generado por los vectores, en particular, los componentes de una cuña de productos son los coeficientes utilizados en una combinación lineal de la base $k$-dimensiones de los subespacios.

Cuando este proceso se aplica a un $b\times a$ matriz $A$, lo que subespacio de describir? Si el subespacio es no degenerada, entonces esto es idéntico a la imagen subespacio de $A$. Si no hay más de $k < b$ vectores son linealmente independientes, entonces el producto exterior de los $k$ estos vectores se describe la imagen de $A$.

Otros términos para esto incluyen la columna de espacio, rango, etc.

Sin embargo, la cuña producto tendrá un factor de escala que la imagen (etc.) no los describe. En el $a \times a$ de los casos, este es el factor determinante, que describe cómo una unidad de $a$-volumen es ampliado o reducido por la transformación. La misma lógica se aplica aquí: el factor de escala se describe cómo un $a$-volumen en el dominio es ampliado o reducido en la imagen $b$-volumen. También existe información acerca del cambio de orientación.