R: probar la normalidad de los residuos del modelo lineal - qué residuos utilizar

Question

Me gustaría hacer una prueba W de Shapiro Wilk y una prueba Kolmogorov-Smirnov en los residuos de un modelo lineal para comprobar la normalidad. Me preguntaba qué residuos deberían usarse para esto: ¿los residuos brutos, los residuos de Pearson, los residuos estudiados o los residuos estandarizados? Para una prueba W de Shapiro-Wilk parece que los resultados de los residuos brutos y los residuos Pearson son idénticos pero no para los otros.

fit=lm(mpg ~ 1 + hp + wt, data=mtcars)
res1=residuals(fit,type="response")
res2=residuals(fit,type="pearson")
res3=rstudent(fit)
res4=rstandard(fit)
shapiro.test(res1) # W = 0.9279, p-value = 0.03427
shapiro.test(res2) # W = 0.9279, p-value = 0.03427
shapiro.test(res3) # W = 0.9058, p-value = 0.008722
shapiro.test(res4) # W = 0.9205, p-value = 0.02143

La misma pregunta para el K-S, y también si los residuos deben ser probados contra una distribución normal (pnorm) como en

ks.test(res1, "pnorm") # D = 0.296, p-value = 0.005563

o una distribución t-estudiante con n-k-2 grados de libertad, como en

ks.test(res3, "pt",df=nrow(mtcars)-2-2) 

¿Algún consejo, tal vez? Además, ¿cuáles son los valores recomendados para las estadísticas de prueba W (>0,9?) y D para que la distribución se acerque lo suficiente a la normalidad y no afecte demasiado a su inferencia?

Por último, ¿tiene este enfoque en cuenta la incertidumbre en los coeficientes de lm ajustados, o funcionaría cumres() en el paquete gof() ser mejor en este aspecto?

Salud, Tom

Answer 1

Se hizo demasiado largo para un comentario.

1. Para un modelo de regresión ordinario (como el que se ajustaría con lm ), no hay distinción entre los dos primeros tipos de residuos que consideres; type="pearson" es relevante para los GLM no gaussianos, pero es lo mismo que response para los modelos gaussianos.

2. Las observaciones a las que aplicas tus pruebas (alguna forma de residuos) no son independientes, por lo que los estadísticos habituales no tienen la distribución correcta. Además, estrictamente hablando, ninguno de los residuos que consideres será exactamente normal, ya que tus datos nunca serán exactamente normales. [Las pruebas formales responden a la pregunta equivocada; una pregunta más relevante sería "¿en qué medida afectará esta no normalidad a mi inferencia?", una pregunta a la que no responden las pruebas de hipótesis de bondad de ajuste habituales].

3. Incluso si sus datos fueran exactamente normales, ni el tercer ni el cuarto tipo de residuo serían exactamente normales. Sin embargo, es mucho más común que la gente examine estos (por ejemplo, mediante gráficos QQ) que los residuos brutos.

4. Podría superar algunos de los problemas de los puntos 2. y 3. (la dependencia de los residuos y la no normalidad de los residuos estandarizados) mediante una simulación condicionada a la matriz de diseño ( $\mathbf{X}$ ), lo que significa que puedes usar los residuos que quieras (sin embargo, no puedes lidiar con el problema de "responder a una pregunta inútil de la que ya sabes la respuesta" de esa manera).