Deje $M$ $G$- módulo de e $H$ a un subgrupo de $G$. Es $\# H^{1}(H, M) < \# H^{1}(G, M)$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto casi nunca es el caso. Aquí hay dos contraejemplos:
1) Infinito grupos: Vamos a $G$ ser un grupo libre en $n$ generadores, y deje $H$ ser un subgrupo de $G$ isomorfo a un grupo libre en $m$ generadores, con $m\neq n$. Entonces uno ha $\mathrm{H}^1(G,\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}^n$$\mathrm{H}^1(H,\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}^m$.
2) grupos finitos: Vamos a $G$ ser la alternancia de grupo en $5$ elementos y deje $H$ ser un subgrupo de $G$ isomorfo a $\mathbb{Z}_2$. A continuación, $\mathrm{H}^1(G,\mathbb{Z}_2)$ es cero debido a que $G$ es perfecto, pero $\mathrm{H}^1(H,\mathbb{Z}_2)=\mathbb{Z}_2$.
Aquí hay algunos casos en los que es cierto:
a) Si $H$ ha finito índice en $G$, e $\mathrm{H}^{1}(G,M)$ es un grupo finito de orden coprime con $[G:H]$, entonces uno tiene (por transferencia de restricción) una inclusión $\mathrm{H}^1(G,M) \rightarrow \mathrm{H}^1(H,M)$.
b) Si $H$ es normal en $G$, entonces uno tiene (por el LHS-espectral de la secuencia) una secuencia exacta
$$0 \rightarrow \mathrm{H}^1(G/H,M^H)\rightarrow \mathrm{H}^1(G,M) \rightarrow \mathrm{H}^1(H,M)^G.$$ Por lo tanto, se obtiene una inclusión $\mathrm{H}^1(G,M) \rightarrow \mathrm{H}^1(H,M)$ si y sólo si $\mathrm{H}^1(G/H,M^H)=0$. Este es el caso, por ejemplo al $G/H$ ha finito abelianization y $M^H$ es una de torsión libre de abelian grupo con trivial $G/H$-acción, o al $M^H=0$.
