Cuando el uso integral?

Question

Tengo una pregunta concerniente al uso integral y ¿cuál es la diferencia entre las dos formulaciones, uno integral y otro sin. He formulado un ejemplo sencillo:

Supongamos que tenemos m = 1 kg de agua que se calienta. Y debido a esto, hay algunos vapor de formación. Ahora vamos a decir que la fracción de vapor ($\theta$) toma valores de 0 a 1 y tiene el perfil que se muestra a continuación:

Ahora viene. Para calcular la masa del vapor ($m_{vapor}$), hay dos formulaciones en mi mente:

• $m_{vapor} = m \cdot \theta(t)$
• $m_{vapor} = m \cdot \int_t \theta (t) dt$

Pero el problema es que no sé por qué debo utilizar uno sobre otro y aquí es donde necesito ayuda. Puede alguien por favor me ayude a entender por qué uno de ellos tendría que utilizar la integral de formulación y ¿por qué no? ¿Qué los hace diferentes?

Tengo serios problemas de comprensión de la función de la integral, aparte del hecho de que representa el área bajo una curva. Pero cuando usarlo? Yo le agradezco mucho si alguien puede que me lo explique en detalle.

Gracias de antemano!

Answer 1

Usted no puede decir si el uso de una integral con sólo mirar el gráfico de $\theta(t)$. Si utilizar o no un integeral depende de dos cosas:

• Lo que hace la fórmula significa?
• ¿Cuál es la respuesta que usted necesita?

En este caso, se le dijo $\theta(t)$ es la fracción de vapor como una masa $m$ de agua es heated. Aprovecho esta para ser la siguiente definición de $\theta(t)$: $$ \theta(t) = \frac{m_\mathrm{vapor}(t)}{m}. $$ A partir de esto, simple álgebra nos dice inmediatamente que $m_\mathrm{vapor}(t) = m \cdot \theta(t).$ Por lo tanto, no integral es necesario.

Si en lugar de la fracción de vapor, tenía un poco de medición de la tasa a la que el agua se está convirtiendo en vapor, entonces usted podría utilizar una integral para determinar cuánta agua se transforma en vapor entre dos tiempos. Las dos veces que podría ser "antes de que toda el agua se vaporiza" y "ahora", si es adecuado a lo que se pregunta.

Answer 2

Brevemente podemos utilizar las integrales para obtener anti-derivados del uso de ellas distintas lugar, en las matemáticas o la ciencia. Las dos integrales generalmente usamos

integral indefinida:

Un integrante de expresarse sin límites.

la integral definida:

Una integral expresada como la diferencia entre los valores de la integral en determinados límites superior e inferior de la variable independiente. \begin{cases} \text{areas}\\ \text{volumes}\\ \text{approximations}\\ \cdots \end{casos}

Principalmente, en la ciencia, las integrales obtenidas por variedades. En su ejemplo, usted desea la liberación de una fórmula muestra de vapor de volumen en la formación de los tiempos. No nos importa aquí es verdadera o falsa, pero a primera vista de vapor de la cantidad de cambio en el tiempo con el parámetro $k$ que depende de muchas cosas (la temperatura del horno y el medio ambiente, plato de volumen, tipo de líquido, incluso el agua tiene diversos de la densidad, y otros), que son importantes. Escribimos $$\Delta m=k(\Delta t)(\Delta \theta)$$ Estas variedades de hacer diferenciales como $$d m=k(dt)(d\theta)$$ Estos diferenciales con iniciales y de contorno valores de las integrales para darnos las soluciones finales.

Eso era para cuando hacemos uso de las integrales y, por último, la diferencia entre las dos formulaciones que provienen de nuestras suposiciones. Potente y precisa los supuestos de hacer la formulación mejor en el sentido de la naturaleza de los comportamientos, y las pequeñas diferencias en la formulación podría hacer mal los resultados.

Answer 3

Para ponerlo qutie simplemente, se utiliza la integral para encontrar el área total limitada por debajo de una curva. En este ejemplo, puedo usar el interal $m_{vapor} = m \cdot \int_t \theta (t) dt$ encontrar la masa total de vapor desde el inicio a un valor de $\theta (t)$. Mientras que si simplemente se utiliza la fórmula $m_{vapor} = m \cdot \theta(t)$ sólo se calcula la masa de vapor en particular de valor de $\theta (t)$ en lugar de un rango.

Answer 4

Personalmente, yo no uso a utilizar realmente. En lugar de eso, trato de recordar lo que el gráfico de medios. Como dice mi profesor, hay dos cosas que usted necesita recordar:

• Pendiente

• Área de

Como por las unidades y lo que significa cada una, la pendiente es el de la división y de la zona es la multiplicación.

Para este gráfico, la pendiente tiene unidades de $\theta/s$ y el área en unidades de $\theta s$ donde $s$ segundos de tiempo.

A partir de ahí, decido que necesito, y en este caso, voy a querer la zona.

El último paso que hacer es decidir si me puede hacer frente a la zona con formas geométricas, y puesto que es un triángulo, que fácilmente se puede utilizar $\frac12bh$ para el área. Las integrales en los cursos de física general, debe evitarse cuando sea posible.

Answer 5

... ¿por qué un uso integral de la formulación y ¿por qué no? ¿Qué los hace diferentes?

Cuando se trata con no-lineal de la cosa$^\dagger$, usted probablemente necesita utilizar integral.

Para hacer el problema más fácil, vamos a dividir las cosas en muchas partes. La pequeña parte en su caso es $dt$, que se puede ver como el extremadamente pequeñas de la versión de intervalo de $\Delta{t} = length([t_{n-1}, t_{n}])$,$\Delta{t} \to 0$.

Para el valor de $t \in [t_{n-1},t_{n}]$, $\Theta(t)$ son casi lo mismo! Por lo tanto, (arbitrariamente) elegir un $t_n^*$ $[t_{n-1}, t_n]$ a representar a todos los demás, como si $\Theta(t)$ es lineal en cada $dt$.

Somos buenos en la resolución de lineal cosas. En tu ejemplo, $\Theta(t)$ es lineal ya.

$^\dagger$ función de la muestra

• Su Ejemplo (con corrección, ya que la segunda fórmula que has dado es malo):

En el gráfico que has dado: $\theta(0) = 0 = \frac{m_{vapor}(0)}{m_{water}}$, $m_{vapor}(0) = 0$.

Dado $t_{1}=0.5(sec), t_{2}=1.0(sec)$. Los siguientes son los mismos:

• ¿Cuál es el efecto total de la proporción($\Delta{\theta_{t_1 \to t_2}}$)?

• ¿Cuál es el área delimitada por $t = 0.5, t = 1.0$, la curva de $\Theta(t)$, y el $t$-eje?

Desde $\Theta(t)$ es lineal ya, hay dos maneras:

• (1) La más grande del triángulo sustraído por uno más pequeño.
• (2) la Integración.

Voy a mostrar (2), usted puede tratar de (1) por sí mismo, el resultado debe ser el mismo: $$\Delta\theta_{t_1 \to t_2} = \int_{t_1}^{t_2}\Theta(t)\,dt = \frac{t^2}{2} \bigg\rvert_{0.5}^{1.0} = {\frac{1.00}{2} - \frac{0.25}{2}} = 0.375(\frac{1}{sec})(sec).$$

$$\begin{align} m_{t_2 \,vapor} &= m_0 \cdot (\theta(0) + \Delta{\theta_{t_1 \to t_2}})\\ &= 1.0(kg) \cdot (0 + 0.375). \end{align}$$

La importancia de la condición inicial($\theta(0)$) aquí no puede ser subestimada. Lo que obtienes después de la integración es el cambio, usted debe proporcionar a la condición inicial!