Que $f(x)$ ser una función de $C^1$ definida en $\mathbb{R}^n$ y $\nabla f(x) \neq 0$ para cualquier $x \in \mathbb{R}^n$. Si $d\sigma$ es la forma del volumen en % de hipersuperficie $f(x)=c$inducido de $\mathbb{R}^n$ entonces cómo mostrar la igualdad $$ df \wedge d\sigma = | \nabla f | ¿\, dx ^ 1 \wedge \ldots \wedge dx ^ n? $$ El principal problema es que no sé a qué % igual $d\sigma(X_p^1,\ldots,X_p^{n-1})$de tangente vectores $X_p^1,\ldots,X_p^{n-1} \in T_p \mathbb{R}^n$. Cualquier sugerencia es bienvenida.
Respuesta
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Considere el caso de una superficie orientable en el espacio de tres. La superficie tiene una unidad normal ${\bf n} = (n^1,n^2,n^3).$ El volumen de nuestra superficie está dada por:
$$\operatorname{d}\!\omega = n^1 \operatorname{d}\!y \wedge \operatorname{d}\!z + n^2\operatorname{d}\!z\wedge \operatorname{d}\!x + n^3\operatorname{d}\!x\wedge\operatorname{d}\!y$$
En el caso de que $M = \{f(x,y,z)=0\}$ el de, como usted ha dicho,
$${\bf n} = \frac{(f_x,f_y,f_z)}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+f_z^2}}$$
De ello se sigue que:
$$\operatorname{d}\!\omega = \frac{f_x \operatorname{d}\!y \wedge \operatorname{d}\!z + f_y\operatorname{d}\!z\wedge \operatorname{d}\!x + f_z\operatorname{d}\!x\wedge\operatorname{d}\!y}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+f_z^2}}$$
Como usted ya sabe: $\operatorname{d}\!f = f_z\operatorname{d}\!x + f_y\operatorname{d}\!y +f_z\operatorname{d}\!z$. Por lo tanto
\begin{array}{ccc} \operatorname{d}\!f \wedge \operatorname{d}\!\omega &=& \frac{f_x^2+f_y^2+f_z^2}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+f_z^2}}\operatorname{d}\!x\wedge\operatorname{d}\!y\wedge\operatorname{d}\!z \\ \\ &=& |\nabla f| \, \operatorname{d}\!x\wedge\operatorname{d}\!y\wedge\operatorname{d}\!z \end{array}
