Diagonaliza la matriz A o explica por qué no se puede diagonalizar

Question

Diagonaliza la matriz o explica por qué no se puede diagonalizar

$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\3 & 5 & 2 \\2 & 6 & 1\end{pmatrix}$

Pista: Un valor propio es $=9$

Así que empecé el problema encontrando el polinomio característico que era

$^3-7^2-15-27$

usando la división larga tengo $(-9)(^2+2+3)$

así que usé la fórmula cuadrática y obtuve

$=-1+i\sqrt{2}$ y $=-1-i\sqrt{2}$ y el $=9$

Nunca he visto un problema con los números imaginarios al encontrar los vectores propios, así que me pregunto si eso significa que no se puede diagonalizar.

Answer 1

Una matriz $A \in M_{n\times n}(\mathbb F)$ es diagonalizable si

A. El polinomio característico tiene todas sus raíces en $\mathbb F$ y

B. La multiplicidad algebraica de cada valor propio es igual a su multiplicidad geométrica.

Dicho esto, tenemos que cada valor propio es simple (lo que significa que B se cumple, en cualquier caso).

Si consideramos nuestra matriz $A \in M_{3\times 3}(\mathbb C)$ entonces es diagonalizable. Sin embargo, si consideramos nuestra matriz $A \in M_{3\times 3}(\mathbb R)$ entonces no es diagonalizable.