¿Cuál es la representación fundamental en la teoría de campos?

Question

En teoría de campos asociamos a cada teoría Gauge un grupo continuo de transformaciones locales (un grupo Gauge), y entonces requerimos \define que los campos de fermiones sean representaciones irreducibles pertenecientes a la representación fundamental de este grupo Gauge.

1. ¿Qué es el representación fundamental y ¿por qué necesitamos que los fermiones estén en ella?

2. ¿Qué significa que un campo _pertenecen a un determinado representación_ ? ¿Es sólo una forma de afirmar que los campos son los "objetivos" de las transformaciones Gauge que hemos introducido, lo que significa que pertenecen al espacio vectorial donde actúa la representación de estas transformaciones?

3. Una transformación Gauge no debe, por definición, cambiar la física. Esto significa que dado cualquier campo $\psi$ tenemos que identificar como una única entidad física todos los campos que pueden obtenerse mediante $\psi$ mediante cualquier elemento del grupo Gauge. ¿Es la formalización de este concepto la razón por la que requerimos que los campos pertenezcan a irreducible ¿representaciones? ¿Hay alguna otra justificación?

Answer 1

1. En representación fundamental de un grupo de Lie $G$ como se utiliza comúnmente en este contexto, es la representación fiel (es decir, inyectiva) más pequeña del grupo. Hacemos no requieren que los fermiones pertenezcan a la representación fundamental, lo que ocurre es que, en el modelo estándar, siempre pertenecen o bien a la representación fundamental o bien a la trivial (tal y como indican los datos experimentales), por lo que rara vez hay un necesita para ver otras representaciones.

2. A pertenecer a una determinada representación $V_\rho$ de $G$ significa que el campo es una sección del haz vectorial asociado $P \times_G V_\rho$ donde $P$ es el haz principal perteneciente a nuestra teoría gauge. Equivalentemente, el campo es un $G$ -función equivariante $P \to V_\rho$ cumpliendo $f(pg) = \rho(g^{-1})f(g)$ para todos $p \in P$ y $g \in G$ . Si no se habla de haces principales, el campo suele tomarse simplemente como una función $\Sigma \to V_\rho$ aunque, estrictamente hablando, no es la forma de hacerlo.

3. Cada campo debe pertenecen a una representación del grupo gauge (aunque sea la trivial) ya que las transformaciones gauge deben tener una acción definida sobre todo en nuestra teoría.

   No es obligatorio que los campos pertenecen a representaciones irreducibles (de nuevo, a menudo es simplemente así), pero como toda representación reducible puede dividirse en irreducibles, basta con observar el comportamiento de las representaciones irreducibles. (No obstante, hay que tener en cuenta que son campos que se transforman en representaciones reducibles - lo habitual $\frac{1}{2}$ -espinores (¡no espinores de Weyl!) se transforman como miembros de la $(\frac{1}{2},0) \oplus (0,\frac{1}{2})$ -representación del grupo de Lorentz)