Al estudiar la prueba de 0,999... = 1, ¿pienso en el número 0,999... como un límite de alguna secuencia o pienso en él como un simple número?

Question

No sé si la prueba de $.999... = 1$ significa que es cierto como límite o si el número $.999... = 1$ Si eso tiene algún sentido.

En las pruebas de álgebra básica nunca se toman límites; sin embargo, hay muchas pruebas que utilizan la expansión en serie infinita y, por definición, se utilizaría necesariamente el límite de las sumas parciales.

Gracias,

Answer 1

Esto depende realmente de su definición de número.

Dicho esto, la definición ingenua de número real suele ser la siguiente.

1. Los números naturales $\mathbb{N}$ son lo suficientemente intuitivos como para darlos por entendidos.
2. Introducimos el concepto de inverso aditivo y obtenemos los enteros $\mathbb{Z}$ .
3. Introducimos el concepto de inverso multiplicativo y obtenemos los racionales $\mathbb{Q}$ -- en este punto, pensado como números de la forma $\frac{p}q$ con $p,q\in\mathbb{Z}$ .
4. Ahora, introducimos el concepto de expansiones decimales. Observamos que los números racionales tienen expansiones decimales terminadas o bien expansiones infinitas pero periódicas. Diremos que un número es irracional si viene dado por una expansión decimal que no encaja en esos casos, es decir, si su expansión decimal es infinita y no periódica.
5. Combinando los números racionales e irracionales, obtenemos los reales $\mathbb{R}$ .

Por supuesto, la noción de límite está implícita en los pasos $(4)$ et $(5)$ al menos en el sentido de "¿Cómo $\mathbb{R}$ heredan una orden/métrica de $\mathbb{Q}$ ?'. Dicho esto, cuando se presentan los reales a los niños, esto es lo suficientemente inuitivo como para omitirlo normalmente sin ningún problema.

Llegados a este punto, debe quedar claro que según nuestra definición $.999\dots$ llega a ser un número en sí mismo ¡ni siquiera sabemos lo que son los límites! Sucede que la expansión decimal de un número no tiene por qué ser única.

En el paso $(3)$ , se suele aprender que la representación de un número racional como una fracción de la forma $\frac{p}q$ con $p,q\in\mathbb{Z}$ tampoco es único. Aunque obviamente no es el mismo caso, este precedente debería hacer que la idea

$$``\text{The representation of a real number via decimal expansion might not be unique"}$$

no debe ser impensable ni completamente ajena.

Como mínimo, no debería sorprender de nuestra "construcción" que $.999\dots$ es racional: después de todo, tiene una periódico expansión decimal.

Answer 2

Si no definimos $0.999\ldots$ como límite, ¿de qué otra manera lo definimos? Por supuesto, la expansión decimal de un número, $x$ son los dígitos que necesitamos para que $x=\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{10}+\frac{a_1}{100}+\ldots$ es lo más parecido a $x$ . Entonces, ¿qué otra cosa podemos definir $0.999\ldots$ ¿como? Excepto por $x=\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\ldots$ pero esta definición es un límite. Claro, podríamos definir el número como $3\cdot\frac13$ pero esto no nos dice nada sobre la expansión decimal. Podríamos intentar definirla como $3\cdot(0.333\ldots)$ pero también tendríamos que definir esa expansión decimal como un límite.

Puede haber pruebas algebraicas de $0.999\ldots=1$ pero hay un uso implícito de los límites al hacer el número de la izquierda. Si no utilizáramos los límites, lo llamaríamos simplemente $1$ y acabar con ello, ya que no habría confusión. Sólo cuando utilizamos los límites (aunque entre bastidores) podemos mostrar realmente los números como expansiones decimales no terminadas.

Tanto si se utilizan secuencias como series, el resultado es el mismo: $0.999\ldots$ es el límite de $0.9\rightarrow 0.99\rightarrow 0.999\rightarrow\ldots$

En cuanto a su pregunta sobre "sólo un número" . ¿Qué impide que el valor de una secuencia o serie sea un número? Todos los números se definen mediante operaciones sucesivas. Sólo se puede obtener $2$ si puedes hacer $1+1$ . Sólo se puede obtener $0.5$ si puedes hacer $1\div2$ . Igualmente, $0.999\ldots$ es tanto el límite de una secuencia como un número.