Mostrando que un número es primo si la norma es primordial

Question

<blockquote> <p>Supongamos que #% el %#% y $\alpha\in\mathbb{Z}[i]$ (norma), un primer en $N(\alpha)=\alpha .\bar{\alpha} =p$. A continuación mostramos que $\mathbb{Z}$ es una privilegiada en $\alpha$.</p> </blockquote> <p><em>Mi intento:</em> Que $\mathbb{Z}[i]$ $\alpha|ab$, y si asumimos que, $a,b\in\mathbb{Z}[i]$ y $\alpha\not| b$ y $\alpha\not| a$ y $N(\alpha)\not|N(a)$ (demostró esto con el hecho de que $N(\alpha)\not|N(b)$ es un dominio euclídeo). Pero esto es una contradicción como $\mathbb{Z}[i]$ o $\alpha|ab\Rightarrow N(\alpha)|N(a)N(b)\Rightarrow N(\alpha)|N(a)$.</p> <p>¿Es el enfoque correcto? ¿Puede alguien sugerir algunas alternativas?</p> <p>Gracias.</p>

Answer 1

Supongamos que $a=xy$ $p=N(a)=N(x)N(y)$ esto significa que el $N(x)=1$ o $N(y)=1$ por lo tanto es irreducible en $a$ $\mathbb{Z}[i]$ y puesto que es un PID también es privilegiada.

Answer 2

Sugerencia:

$$p=ab\implies p^2=\mathcal N(p)=\mathcal N(a)\mathcal N(b)\iff\mathcal N(b)\,\mid\,p\;\;\text{or}\;\;\mathcal N(a)\,\mid\,p$$

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