Martingala local continua de variación finita es constante

Question

Es una constante de martingala $M$ finito de la variación de la constante?

Sabemos que existe una secuencia de tiempos de parada $T_n\nearrow \infty$.s. como $n\to\infty$ de manera tal que el proceso detenido $M^{T_n}$ es un continuo delimitado martingala. Y $M^{T_n}$ ha finito de variación, debido a que $M$ ha finito de variación.

Ya que si $X$ es un continuo delimitado martingala con finito de variación, a continuación,$X=X_0$.s. Por lo $M_t^{T_n}=M_0^{T_n}$.s. $\forall t\ge 0$ y dejando $n\to\infty$ obtenemos que $M\equiv M_0$.

1. Es mi razonamiento correcto?

2. La declaración de "continuo delimitado martingala con finito de variación implica la constante" es un lema de mis notas, pero no nos lo demuestran. ¿Cómo se podía demostrarlo?

Answer 1

Su intuición es buena, pero hay algunos aspectos técnicos que usted debe tener cuidado. WLOG $M_0 = 0$. Empezar por asumir $M$ es una martingala continua de variación acotada. Entonces si $B$ es un obligado en la variación de $M$, e $(t_i)$ es una partición de a $[0,t]$,

$$ E[M_t^2] = E\sum (M_{t_{i+1}}-M_{t_i})^2 \leq B E[\sup_i|M_{t_{i+1}}-M_{t_i}|]. $$

Desde $M$ es continua en el supremeum tiende a $0$ como el tamaño de la partición va a $0$. Por otra parte, el supremum está dominado por $B$, y, por tanto, dominado convergencia nos dice que $E[M_t^2] = 0$, en particular,$M_t=0$.s. Deje $t$ más racionales y el uso de la continuidad de $M$ a la conclusión de que la $M=0$.

A continuación, si $M$ es un continuo local de martingala, tomar una localización de la secuencia de los tiempos de parada $(\tau_n)$. Entonces nos encontramos con que $M^{\tau_n}_t = 0$ todos los $n$, y así tomando el límite en $n$ da $M_t = 0$.s. De nuevo vamos a $t$ gama más racionales.

Answer 2

No estoy seguro si es así de simple. Detesto publicar una respuesta única de enlace pero siento que no estoy añadiendo ningún valor por publicar nada además de este excelente enlace.

Ver Teorema 3 y lema 4 de

http://almostsure.wordpress.com/2010/04/01/Continuous-local-Martingales/