Actualmente estoy tratando sumar la siguiente serie:
$$ \sum_{k=1}^{n^2}\frac{1}{1 + \left (\frac{k}{n} \right)^{r}} $$
No sé qué hacer ya que estamos sumando $n^{2}$. Cualquier ayuda sería apreciada.
Respuestas
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Suponiendo que $r\gt0$, el $n$th suma $S_n$ es $n$ veces una suma de Riemann de la disminución de la función $x\mapsto1/(1+x^r)$ en el intervalo $(0,n)$ ahí $$n\int_0^n\frac{\mathrm dx}{1+x^r}-1+\frac1{1+n^r}\leqslant S_n\leqslant n\int_0^n\frac{\mathrm dx}{1+x^r}.$$ In particular, if $r\gt1$, then, when $n\to\infty$,$$\frac1{n}S_n\to\int_0^\infty\frac{\mathrm dx}{1+x^r}=\frac{\pi}{r\sin\left(\pi/r\right)},$$ if $r=1$, then $$\frac1{n\log n}S_n\to1,$$ y, si $0\lt r\lt1$ y $$\frac1{n^{2-r}}S_n\to\frac1{1-r}.$ $
Matthew Scouten
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Si $r$ es un número entero positivo, puede expandir $1/(1+(k/n)^r)$ en fracciones parciales:
$$ \dfrac{1}{1+z^r} = \sum_{\alpha} \dfrac{-\alpha}{r (z - \alpha)}$ $ la suma que sobre el $r$' raíces del th de $-1$.
Cada tal $r$ obtenemos una expresión de "forma cerrada" en términos de la función de $\Psi$
$$ \sum{k=1}^{n^2} \dfrac{1}{1+(k/n) ^ r} = \sum\alpha \sum{k=1}^{n^2} \dfrac{-\alpha}{r (k/n - \alpha)} = n \sum\alpha \dfrac{\alpha} {r} \left (\Psi (n 1-\alpha) - \Psi(1-\alpha n + n^2)\right) $$
