¿Es correcto: no es divisible por $1!+2!+\ldots+n!$ $n+1$ $n\ge3$?

Question

Es correcto: $1!+2!+\ldots+n!$ no es divisible por $n+1$$n\ge3$ ?

A mí me parece que al menos es cierto para los impares $n$.

Edit: a La pregunta principal, que estaba tratando con es $1!+2!+\ldots+n!$ no es divisible por cualquier prime $p\le n.$ Lo que hice:

$$1!+2!+\ldots+n!=1!+2!+\ldots+(p-1)!+p!+\ldots+n!$$ Así que, si puedo demostrar que $1!+2!+\ldots+(p-1)!$ no es divisible por $p,$ es hecho. Tomando algunos random $n,$ yo no encuentro ninguna receta (mis malas decisiones de $n$) y el pensamiento de la anterior conjetura que no es cierto como se indica en las siguientes respuestas.

Answer 1

Cuando es $m>1$, entonces el $m!$. Por lo tanto, $$ 1! +2! +3! + \dots + n! $$ es impar. Cuando $n$ es impar, entonces $n+1$ es incluso. Por lo tanto, $$ (n+1)\nmid(1!+2!+3!+\dots+n!) $$ desde $2$ divide el lado izquierdo, pero no el lado derecho.

Por otro lado, cuando $n=8$, $$ 1! +2! +3! +4! +5! +6! +7! +8! = 46233, $$ que es divisible por $n+1=9$.

Por lo tanto, la afirmación es verdadera cuando $n$ es extraño, pero es falsa cuando $n$ incluso. Usted puede han sido detectar que muchos de los primeros algunos números impares son primer.

Answer 2

Fijate que