Tengo un Análisis Complejo de examen en 2 días. El último examen, tenía, entre otros aspectos, los siguientes:
Deje $f$ ser una función de holomorphic en $\mathbb{D}\smallsetminus\{0\}$ que hace no tiene una singularidad removible anuncio el origen.
¿Qué tipo de singularidades puede tener? Por qué?
Mostrar que el origen es una singularidad esencial para $e^f$.
El punto uno es bastante fácil: se puede tener un polo o una singularidad esencial, porque esas son las únicas posibles singularidades aisladas, excepto por una extraíbles, que es excluida por la hipótesis, y que la singularidad es, sin duda aislado ya que la función es holomorphic en el resto del disco $\mathbb{D}$. Pero, ¿cómo ir sobre la segunda? Pensé en tratar de demostrar que las conclusiones de la Casorati-Weierstrass teorema, debido a que podría excluir a una singularidad removible ya que la función no sería acotado, y un polo desde el módulo podría oscilar violentamente y por lo tanto no tienden a infinito, lo cual es equivalente a 0 es un polo. Pero todavía estoy atascado. Quiero decir, si $f$ tiene parte real de ir a $-\infty$ y la parte imaginaria de hacer lo que quiera, a continuación, $e^f$ tiene una singularidad removible en 0, sin embargo,$f$, todavía tiene un polo, ya que lo que la parte imaginaria se hace, el módulo de tenderá a infinito. Me estoy perdiendo algo o esto es realmente imposible el ejercicio de derecho de examen? Y si no, que supongo que es lo más probable - lo que me estoy perdiendo, y ¿cómo puedo solucionar esto?
