Problema de descomposición de fracciones parciales... respondido a medias...

Question

$$\int \frac{5x^3+19x^2+27x-3}{(x+3)^2(x^2+3)}dx$$

Sé que voy a utilizar la descomposición de fracciones parciales en este problema, al menos eso parece. hasta ahora, lo que tengo es esto:

$$\frac{5x^3+19x^2+27x-3}{(x+3)^2(x^2+3)}=\frac{A}{x+3}{}+\frac{B}{(x+3)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+3}$$

Multiplicar por el LCD : $(x+3)^2(x^2+3)$

Me quedo con :

$$5x^3+19x^2+27x-3=A(x+3)(x^2+3)+B(x^2+3)+(Cx+D)(x+3)^2$$

Al establecer $x=-3:B=-4$

Ahora es cuando tengo problemas. Ahora que puedo sustituir B en la ecuación de descomposición original, no hay ningún valor de x que deje sólo una variable para resolver. Por favor, echadme una mano chicos (y chicas). Gracias.

Answer 1

Hay muchas opciones:

1. Diferenciar y sustituir $x=-3$ .

2. Sustituir valores simples como $x=0$ y $x=1$ y $x=-1$ para obtener tres ecuaciones en tres incógnitas.

3. El método que menciona @Shu en los comentarios.

4. Sustituir $x=\sqrt{-3}$ y $x=-\sqrt{-3}$ .

Answer 2

Dotaré $f(x)$ esta función racional. He aquí una alternativa a la estrategia de expansión/ecuación.

Truco del límite: multiplicar ambos lados por $x$ , comparar los grados, y dejar que $x$ tienden a $+\infty$ : $$ \lim_{x\rightarrow+\infty}xf(x)=5=A+C. $$

Truco de sustitución: elija un valor pequeño en el dominio de $f$ . Aquí $0$ es perfecto: $$ f(0)=\frac{-3}{27}=\frac{A}{3}+\frac{B}{3}+\frac{D}{3} $$ Necesitamos una ecuación más. Intentemos $-2$ No es tan malo. $$ f(-2)=\frac{-21}{7}=A+B+\frac{D-2C}{7}. $$ Ahora, no hay milagro, hay un $4\times 4$ sistema para resolver utilizando también $B=-4$ .

Answer 3

$$5x^3+19x^2+27x-3=A(x+3)(x^2+3)+B(x^2+3)+(Cx+D)(x+3)^2=$$ $$=(A+C)x^3+(3A+B+6C)x^2+(3A+6D+9C)x+(9A+3B+9D)$$ igualando los coeficientes al lado de la misma potencia de $x$ obtenemos el siguiente sistema

$$A+C=5$$

$$3A+B+6C=19$$

$$3A+6D+9C=27$$

$$9A+3B+9D=-3$$

Answer 4

\begin{align} 5x^3+19x^2+27x-3 &= A(x+3)(x^2+3)+B(x^2+3)+(Cx+D)(x+3)^2 &\text{Let $x = -3$}\\ -48&=12B \\ B &= -4 & \text{Go back and let $B = -4$}\\ \hline 5x^3+19x^2+27x-3 &= A(x+3)(x^2+3)-4(x^2+3)+(Cx+D)(x+3)^2 \\ 5x^3 + 23x^2 + 27x + 9 &= A(x+3)(x^2+3)+(Cx+D)(x+3)^2 &\text{Divide both sides by $(x+3)$}\\ \hline 5x^2 + 8x + 3 &= A(x^2+3)+(Cx+D)(x+3) &\text{Let $x=-3$} \\ 24 &= 12A \\ A &= 2 &\text{Go back and let A = 2} \\ \hline 5x^2 + 8x + 3 &= 2(x^2+3)+(Cx+D)(x+3) \\ 3x^2 + 8x - 3 &= (Cx+D)(x+3) &\text{Divide both sides by $(x+3)$} \\ 3x-1 &= Cx+D \\ C &= 3 \\ D &= -1 \end{align}

Nota computacional.

El cociente $(5x^3 + 23x^2 + 27x + 9) \div (x+3)$ y el valor de ese cociente en $x=-3$ puede lograrse con la división sintética.

\begin{array}{r|rrrrr} & 5 & 23 & 27 & 9 \\ -3 & 0 & -15 & -24 & -9 \\ \hline & 5 & 8 & 3 \\ -3 & 0 & -15 & 21\\ \hline & 5 & -7 & 24 \end{array}

Por lo tanto, $(5x^3 + 23x^2 + 27x + 9) \div (x+3) = 5x^2+8x+3$ y el valor de $5x^2+8x+3$ cuando $x=-3$ es $24$ .