¿Por qué los primos repuntes sólo tienen un número primo de consecutivos $1$ s?

Question

Los primos repuntuales son primos de la forma $\frac{10^n - 1}{9} = 1111\dots11 \space (n-1 \space ones)$ . Cada primo repunit se denota por $R_i$ , donde $i$ es el número de veces consecutivas $1$ s que tiene.

Hasta ahora, se han encontrado muy pocos: $R_2, R_{19}, R_{23}, R_{317}, R_{1031}, R_{49081}, R_{86453}, R_{109297}, R_{270343}$ .

Una cosa que hay que observar en todos ellos es que todos tienen un subíndice primo. ¿Es esto un requisito para todo repunit primes. ¿Cada primo repunit escrito como $R_p$ tienen que tener $p$ como primo?

Lo he intentado: Un repunit prime $R_i$ se puede escribir como $10^{i-1} + 10^{i-2} \dots + 10^{2} + 10 + 1$ . Estamos obligados a demostrar que si $i$ es compuesto entonces $R_i$ es compuesto. Evidentemente, si $i$ es par, entonces $R_i$ es divisible por $11$ . $3|i$ entonces $3|R_i$ .

Así que, $i$ tiene que ser de la forma $6n \pm 1$ . No podía poner más limitaciones de esto. ¿Hay alguna prueba elemental para esto?

Answer 1

El número cuya representación decimal está formada por $ab$ consecutivos $1$ es divisible por el número cuya representación decimal consiste en $a$ consecutivos $1$ 's.

Para ver esto, piense en el algoritmo habitual de "división larga". Terminará con $0$ resto. El cociente tendrá representación decimal $1$ , seguido de $a-1$ $0$ 's, entonces un $1$ entonces $a-1$ $0$ y así sucesivamente.

Por lo tanto, si $k$ es compuesto, entonces $R_k$ es compuesto.

Answer 2

$$\frac{10^{pq}-1}{9}=\frac{10^p-1}{9}\cdot \left(10^{q(p-1)}+10^{q(p-2)}+\cdots+1\right)$$ Es fácil ver que la expresión del lado derecho se telescopia.

Answer 3

Si $i$ es compuesto, escriba $i=jk$ entonces tienes $R_i=\displaystyle\frac{10^i-1}{9}=\displaystyle\frac{10^{jk}-1}{9}=\displaystyle\frac{(10^j)^k-1}{9}=(10^{j({k-1})}+10^{j({k-2})}+...+10^j+1)\cdot \frac{10^j-1}{9}$ por lo que si $i$ es compuesto entonces $R_i$ es compuesto, por eso si $R_i$ es primo entonces $i$ es primo.

Answer 4

Piensa en lo que ocurre cuando multiplicas un número de tres cifras por $1001$ . Se repiten los dígitos de ese número. Del mismo modo, un número de cuatro dígitos por $10001$ y si se multiplica por $100010001$ entonces tienes los dígitos repetidos dos veces. Lo que ocurre es simplemente varias multiplicaciones por $1$ , desplazados lo suficientemente lejos como para que los dígitos de cada uno no interfieran entre sí.

En esta línea, \begin {align}111,111,111,111 &= 1,111 \times 100,010,001 \\ &= 111 \times 1,001,001,001 \\ &= 11 \times 10,101,010,101. \end {align}

correspondiente a la factorización $12$ en $4 \times 3$ , $3 \times 4$ o $2 \times 6$ respectivamente. Esto debería hacer intuir que una repunidad de longitud $mn$ es el producto de una repunidad de longitud $m$ y un número formado por $n$ $1$ s cada uno separado por $m - 1$ ceros.