Módulo homomorfismo sobreyectiva pero no inyectiva

Question

Es un ejercicio conocido en álgebra conmutativa para demostrar que si un endomorphisme de un módulo de un módulo noetheriano M es sobreyectiva, también es inyectiva.

¿Cuáles son ejemplos de que la declaración está mal si se nos cae la hipótesis de noetheriano?

Answer 1

El ejemplo más simple es probablemente el de un contable dimensional $\Bbb F$ espacio vectorial $V$. Fijar una base $\{b_i\mid i\in \Bbb N\}$

Hay dos transformaciones lineales que vienen en práctico:

• por $A(b_i)=b_{i+1}$

• por $B(b_i)=b_{i-1}$$i>0$$B(b_0)=0$.

Si la comprobación de estos, también se debe ver que $BA=Id_V$, lo $B$ es surjective, pero desde $B(b_0)=0$ claramente no es inyectiva.

Mientras estamos en ello, usted podría notar que $A$ es necesariamente inyectiva, pero es evidente que no surjective ya que no múltiplo de $b_0$ es en su imagen.

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También me gustaría tirar que el ejercicio es bastante estándar para no conmutativa anillos también :) Módulos con esta propiedad se llaman hopfian módulos, con la doble noción de ser "cohopfian" de curso. El ejemplo anterior nos proporciona una nonHopfian un noncoHopfian $\Bbb F$ módulo.

Answer 2

Considerar la Prüfer $p$grupo $\mathbb{Z}(p^\infty)$, que es artinian. Si usted cociente por la mínima subgrupo distinto de cero, se obtiene un grupo isomorfo a $\mathbb{Z}(p^\infty)$. Así se puede definir un endomorfismo de $\mathbb{Z}(p^\infty)$ que es surjective pero no inyectiva.

También se puede utilizar un módulo de infinito rango, decir $M=R^{\mathbb{N}}$, con base $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ y definen $f(e_n)=e_{n+1}$, a continuación, utilizar de nuevo un isomorfismo de la imagen con $M$.

Otro, tal vez sorprendente, por ejemplo, es el de un finitely generado módulo con la propiedad. Considere la posibilidad de un anillo de $R$ de manera tal que el derecho libre de $R$-módulo de $R_R$ es isomorfo a $R\oplus R$. Por lo tanto, si $f\colon R\to R\oplus R$ es este isomorfismo, $p\colon R\oplus R\to R$ es la proyección en el primer componente y $i\colon R\to R\oplus R$ es la inyección en el primer componente, vemos que $$ p\circ f\colon R\R $$ es surjective pero no inyectiva, mientras que $$ f^{-1}\circ i\colon R\R $$ es inyectiva pero no surjective.

El ejemplo estándar de un anillo es $R=\operatorname{End}(V)$ donde $V$ es un infinito dimensional espacio vectorial sobre un campo $F$. Anillos donde $R^m\cong R^n$ implica $m=n$ ( $m,n\in\mathbb{N}$ ), se dice que el invariante de la base número. Cada anillo conmutativo ha IBN, pero no conmutativa queridos no tienen esta propiedad. Hay, por cualquier $k\in\mathbb{N}$, ejemplos de anillos tal que $R^m\cong R^n$ si y sólo si $m\equiv n\pmod{k}$.