¿Es posible encontrar una base de $M_n(\mathbb{R})$ que sólo tiene matrices diagonalisable no?
Estoy buscando un ejemplo bastante fácil , o una prueba de la existencia (no-).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto es siempre posible: vamos a $E_{ij}$ ser la matriz de con $1$ $i, j$ spot y $0$ en otros lugares (aviso $\{E_{ij} \}$ es el estándar de la base de $M_n(\mathbb{R})$). Para $i \ne j$, $E_{ij}^2 = 0$, por lo tanto, es nilpotent y no diagonalizable, por lo $N = \{E_{ij} \mid i \ne j\}$ es un conjunto linealmente independiente de $n^2 - n$ no diagonalizable matrices.
Siguiente, tenga en cuenta que para cualquier $i$, siempre es posible elegir $j < k$ tal que $E_{ii} + E_{jk}$ rango $2$, mientras $n \ge 3$. Desde $E_{ii} + E_{jk}$ es triangular con polinomio característico $\lambda^{n-1}(\lambda - 1)$, la multiplicidad algebraica de $0$$n - 1$, pero la multiplicidad geométrica es $\dim \ker (E_{ii} + E_{jk}) = n - 2$. Por lo tanto $E_{ii} + E_{jk}$ no es diagonalizable, y $N \cup \{E_{ii} + E_{j_ik_i} \mid 1 \le i \le n\}$ es un conjunto de $n^2$ matrices con el mismo lapso como $\{E_{ij}\}$, por lo tanto es una base de $M_n(\mathbb{R})$.
Explícitamente, se puede tomar como base $N \cup \{E_{22} + E_{13}\} \cup \{E_{33} + E_{12}\} \cup \{E_{ii} + E_{23} \mid i \ne 2, 3\}$.
Para $n = 2$, uno puede comprobar que
$$\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-1 & 4 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$$
es una base de $M_2(\mathbb{R})$, ninguno de los cuales es diagonalizable (la última es similar a la primera).
