Prueba de que no hay forma de elegir signos para hacer una suma secuencial$1+2+3+\cdots+10$ incluso

Question

He pensado que por la suma

ps

No hay forma de elegir los signos de los números para obtener una suma par.

Realmente estoy luchando para probar esto y agradecería algo de ayuda.

También por el bien de los intereses, ¿podría demostrarse esto en general (no hay forma de elegir signos de cualquier suma secuencial que iguale a un número desigual para obtener uno par?)

Answer 1

No importa cuáles sean los signos, tiene cinco números pares (cuya suma es par) y un número impar (cinco) de números impares. Eso es todo lo que necesita saber para concluir que la suma es impar.

Answer 2

La paridad de un número no cambia cuando cambia su signo.

Answer 3

Una suma de enteros$a_1+\cdots+a_n$ es impar si y solo si un número impar de términos$a_i$ son impares (eso fue una gran cantidad de probabilidades para una oración). Como el cambio de signo no cambia la paridad, tampoco cambia la paridad de la suma.

Answer 4

Cuando un término específico (llamarlo$a$) tiene su signo invertido, lo que está haciendo es restar$a$ dos veces de la suma$S$, por lo que la suma se convierte en$S - 2a$. Esto se extiende a cualquier cantidad de términos, por lo que siempre resta un número par, que nunca cambia la paridad de la suma.

EDITAR: Acabo de notar el comentario de @lulu, que cubrió esto.

Answer 5

Agregar o quitar un número impar cambia la paridad. Agregar o restar un número par no cambia la paridad. Independientemente de cuáles sean los signos, está sumando o restando 5 números impares y 5 pares a 0. Entonces la paridad se cambia 5 veces. El resultado final es impar.