Una de coordenadas de la cartografía (tales como las coordenadas polares en el plano) sólo es único si el teorema de la función implícita es válida en la región. El teorema de la función implícita en la n-dimensional espacio Euclídeo de los estados que, si la matriz Jacobiana, es decir, la matriz de derivadas parciales, de la coordinatized asignaciones de la definición de la gráfica de la función en un subconjunto abierto de $\Bbb R^n$ es invertible, entonces existe un único continuamente diferenciable mapa de el abra $U$ en el conjunto abierto $V$ donde la gráfica de la función $g$ es igual a un conjunto de nivel de $f$. Que es $(\mathbf x, g(\mathbf x)) = \{(\mathbf x,\mathbf y) | f(\mathbf x,\mathbf y) =c \}$ donde $c$ es un número real.
Si los mapas bajo consideración son coordinar las asignaciones de e $c = 0$, $f = g^{-1}$ y el teorema de la función inversa, a continuación, da el "cambio de coordenadas" por "equivalente" en términos de los componentes de cualquiera de las $f$ o $g$. De lo contrario, múltiples coordinar las asignaciones son aplicables.
He aquí un ejemplo estándar, descaradamente robado de una página de la Wikipedia (lol) : Tome una región en $R^3$ parametrizada por coordenadas polares $(R, \theta)$. Podemos ir a un nuevo sistema de coordenadas (coordenadas Cartesianas) mediante la definición de funciones de $x(R, \theta) = R \cos(\theta)$$y(R, \theta) = R \sin(\theta)$. Esto hace posible que, dado cualquier punto de $(R, \theta)$ encontrar las correspondientes coordenadas Cartesianas $(x, y)$.
Cuando podemos volver atrás y convertir coordenadas Cartesianas a coordenadas polares? En el ejemplo anterior, es suficiente para tener $\det J \ne 0$, con $$J =\begin{bmatrix}
\frac{\partial x(R,\theta)}{\partial R} & \frac{\partial x(R,\theta)}{\partial \theta} \\
\frac{\partial y(R,\theta)}{\partial R} & \frac{\partial y(R,\theta)}{\partial \theta} \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\cos \theta & -R \sin \theta \\
\sin \theta & R \cos \theta
\end{bmatrix}$$.
Desde $\det J = R$, la conversión a coordenadas polares es posible si $R \ne 0$. Por lo que sigue siendo para comprobar el caso de $R = 0$. Es fácil ver que en el caso de $R = 0$, nuestra transformación de coordenadas no es invertible: en el origen, el valor de $θ$ no está bien definida.
Lo sé, es algo muy confuso a veces, pero es realmente importante para entender las condiciones en las que esto es posible. La geometría diferencial realmente depende enteramente de este marco.Para una buena discusión de esta cuestión y un montón de buenos ejemplos en dimensiones bajas, echa un vistazo a Cálculo Vectorial por Pedro Baxandall y Hans Liebeck. Más abstracto discusiones pueden ser encontrados en el Análisis de los Colectores por James Munkres o Análisis en el Espacio Euclidiano por Kenneth Hoffman.
