Continuidad de $a^x$ cuando se ' s definida por la forma ordinaria

Question

He buscado la discusión de la prueba de la continuidad de la función exponencial, en la mayoría de los casos, la función está definida por la potencia de la serie o de la inversa de la función de registro donde el registro es definida por la integración de $1/x$.

No conozco a nadie en la prueba (o croquis de demostrar) de $a^x$ continua cuando se la considera como verdadera función de valores, donde $a^x$ se define de la manera ordinaria, es decir,

Al $x$ es entero positivo, $a^x$ $a$ multiplicar x veces, $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$, $a^{1/x}$ es el único número $b$ que satisface $b^x=a$. Para general número real r, definir $a^r=sup\{a^q, q\in Q, q\leq r\}$

Answer 1

Aquí es un muy esbozo: Tome $a>1$. El caso de $a<1$ es tratado de manera similar. A continuación, el mapa de $x\mapsto a^x$ es el aumento en los racionales, y satisface el grupo de la ley de $a^{x+y}=a^x a^y$ racional,$x$$y$. La única especie de discontinuidad disponible para una función creciente es un salto de discontinuidad, con el salto de ser de un valor inferior a la izquierda a un valor más alto a la derecha. Si hay un salto de discontinuidad en cualquier (posiblemente irracional) $x$, puede utilizar el grupo de derecho a deducir un salto de discontinuidad en $qx$ para cualquier racional $q$. Terminas con más saltos que un aumento de la función (que necesariamente tiene que ser localmente acotada), posiblemente, puede acomodar. Detalles que se dejan al lector como ejercicio.