Dadas las siguientes derivadas, encuentre las integrales

Question

Encuentre las derivadas de $\ln(x+\sqrt{x^2+1})$ y $\arcsin(x)$ y utiliza el resultado para encontrar las integrales de las siguientes funciones:

• $$ \dfrac{1}{ \sqrt{ \pm x^2 \pm a^2 }} $$

• $$ \sqrt{\pm x^2 \pm a^2} $$

Excepto en los casos en los que ambas cosas son un inconveniente. $a$ es una constante positiva.

Así que para las dos derivadas, acabo de encontrar las siguientes derivadas $$[\ln (x+\sqrt{x^2 \pm a^2}) ]' = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}$$

Y también:

$$ [ b\arcsin(\dfrac{x}{a} + c)]' = \dfrac{b}{\sqrt{a^2-(x+ac)^2}}$$

Estas fórmulas facilitan la primera parte. Obtenemos $\int \dfrac{1}{ \sqrt{ x^2 + a^2 }} = \ln (x+\sqrt{x^2 + a^2})$ , $\int \dfrac{1}{ \sqrt{ x^2 - a^2 }} = \ln (x+\sqrt{x^2 - a^2})$ y $\int \dfrac{1}{ \sqrt{ a^2 - x^2 }} = \arcsin(\dfrac{x}{a})$

Sin embargo, no soy capaz de averiguar cuál es la forma más fácil de conseguir la segunda parte de la pregunta, utilizando los conocimientos que tenemos. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Una pista. Puede utilizar una integración por partes para la segunda familia: $$ \begin{align} \int \sqrt{\pm x^2 \pm a^2} \:{\rm{d}}x&=x\sqrt{\pm x^2 \pm a^2}-\int \frac{x \times\pm x }{\sqrt{\pm x^2 \pm a^2}}\:{\rm{d}}x\\ &=x\sqrt{\pm x^2 \pm a^2}-\int \frac{\pm x^2}{\sqrt{\pm x^2 \pm a^2}}\:{\rm{d}}x\\ &=x\sqrt{\pm x^2 \pm a^2}-\int \frac{\pm x^2 \pm a^2 -\pm a^2}{\sqrt{\pm x^2 \pm a^2}}\:{\rm{d}}x\\ &=x\sqrt{\pm x^2 \pm a^2}-\int \sqrt{\pm x^2 \pm a^2} \:{\rm{d}}x+\pm a^2\int \frac{1}{\sqrt{\pm x^2 \pm a^2}}\:{\rm{d}}x \end{align} $$ dando $$ \int \sqrt{\pm x^2 \pm a^2} \:{\rm{d}}x=\frac x2\sqrt{\pm x^2 \pm a^2}+\frac{\pm a^2}{2}\int \frac{1}{\sqrt{\pm x^2 \pm a^2}}\:{\rm{d}}x $$ entonces se concluye con la primera familia.