Transformaciones de Lorentz de campos evaluados en un punto

Question

Estoy seguro de que debo estar pasando por alto algo muy sencillo, así que pido disculpas por adelantado.

Considerando la transformación de Lorentz $\Lambda$ de un campo espinor, para la solución de onda plana $u(p)$ , No puedo, por mi vida, estar de acuerdo por qué

(1) $$ u^s(\Lambda^{-1} {p'}) = \Lambda_{\frac{1}{2}} u^s(p') $$

donde

$$ p' = \Lambda p $$

Esto está en Peskin & Schroeder, pg 59, justo encima de la ecuación (3.110).

He intentado conseguir esto una docena de veces, sin éxito.

Sé que, para un campo escalar, bajo una transformación de Lorentz $\Lambda$ obtenemos, según Peskin & Schroeder, pg 36, la ecuación (3.2)

$$ \phi(x) \rightarrow \Lambda \phi(x) = \phi'(x) = \phi(\Lambda^{-1} x) $$

Esto tiene sentido para mí, ya que "el campo transformado en el punto transformado del espaciotiempo debería ser el mismo que el campo no transformado en el punto no transformado del espaciotiempo".

Así que tratando de hacer eso con transformaciones inversas, ahora usando $\Lambda_{\frac{1}{2}}$ para una solución de onda plana espinor, obtengo

$$ \Lambda u(p) = u (\Lambda^{-1} p) $$

y aplicando una transformación inversa se obtendría

$$ \Lambda^{-1} \Lambda u(p) = \Lambda^{-1} u (\Lambda^{-1} p) $$

o

$$ u(\Lambda^{-1} \Lambda p) = u' (\Lambda^{-1} p) $$

así que

$$ u(\Lambda^{-1} p') = u( [\Lambda^{-1}]^{-1} \Lambda^{-1} p) $$

de donde

$$ u(\Lambda^{-1} p') = u(p) $$

es decir,

$$ u(p) = u(p) $$

Así que es consistente, pero no sirve de mucho.

¿Puede alguien mostrarme qué me falta para derivar la ecuación (1) anterior?

Answer 1

Es confuso y francamente repugnante hablar de transformaciones de puntos en el espaciotiempo. Esto resulta de abusar de que en el espacio de Minkowski se puede identificar el espacio tangente con el propio espaciotiempo; el resultado es que se confunde coordenadas y puntos en el espacio-tiempo . Este es un hábito terrible y debe evitarse.

La afirmación correcta es que bajo un cambio de tétrada (marco ortonormal) por $\Lambda$ cada campo se transforma según alguna representación de (la cobertura de) el grupo de Lorentz. En las fórmulas $$\phi(p) \mapsto \phi'(p) = \phi(p)$$ $$A_\mu(p) \mapsto A_\mu'(p) = L^\nu_\mu A_\nu(p)$$ $$\psi(p) \mapsto \psi'(p) = \Lambda_{1/2} \psi(p) $$ Tengo explícitamente el mismo punto en los campos transformados y no transformados porque la transformación es en el sentido de la palabra. Aquí $p$ es un punto en el espacio-tiempo. Los observadores no imprimados y los imprimados no están de acuerdo en los componentes de un campo en un punto, pero es el mismo punto, no se deben comparar los campos en puntos cebados y no cebados.

Ahora, para los espacios-tiempo generales los cambios de coordenadas y los cambios de marco son totalmente independientes . De hecho, se puede encontrar un marco de coordenadas que también sea una tétrada si y sólo si el espaciotiempo es plano, es decir, el espacio de Minkowski. Básicamente esto dice que existe un sistema inercial global si el espaciotiempo es plano. Entonces en el espacio de Minkowski y sólo en el espacio de Minkowski, si $x^\mu$ y $y^\mu$ son coordenadas para sistemas inerciales las tétradas correspondientes $\{ dx^\mu\}$ y $\{ dy^\mu\}$ están relacionadas en todas partes por una transformación de Lorentz. A la inversa, se puede componer cualquier función de coordenadas inerciales con una transformación de Lorentz para obtener una nueva función de coordenadas inerciales, $$x^\mu = L^\mu_\nu y^\nu$$ tal que $$dx^\mu = L^\mu_{\nu}dx^\nu.$$

Entonces para el campo escalar, $$\phi(p) = \phi((x^{-1})^\mu(x^\mu)) \mapsto \phi'(p) = \phi((y^{-1})^\mu(y^\mu)) = \phi((y^{-1})^\mu({L^{-1}}^\mu_\nu x^\mu))$$ De ahí viene esa horrible idea de transformar los puntos. Como puedes ver, se trata completamente de coordenadas. No hay que confundir puntos y coordenadas, por desgracia, es demasiado fácil hacerlo en el espacio de Minkowski.

Answer 2

He luchado por esta respuesta durante bastante tiempo. Cuando me dirigí a la página 46 de Peskin y Schroeder, encontré una explicación plausible. En la página 46, Peskin y Schroeder, escriben la siguiente ecuación.

$u(p) = exp[-\frac{1}{2} \eta \begin{pmatrix}\sigma^3&0\\0&-\sigma^3\end{pmatrix}] u(p_0)$

La forma exponencial se puede generalizar $\Lambda_\frac{1}{2}$ de la siguiente ecuación nº 3.30:

$\Lambda_\frac{1}{2} = exp(-\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu}S^{\mu\nu})$

De ahí que la ecuación pueda reescribirse ahora para una transformación general como

$ u(p) = \Lambda_\frac{1}{2} u(p_0) $

Tomando transformaciones inversas en ambos lados y tomando $p_0 = \Lambda^{-1} p$ podemos ver que la ecuación sale como:

$ u(\Lambda^{-1} p) = \Lambda_\frac{1}{2}^{-1} u(p)$

La ecuación $ u^{s}(\Lambda^{-1} p) = \Lambda_\frac{1}{2}^{-1} u^{s}(p)$ es la versión generalizada de la ecuación anterior.