Cómo mostrar $T$ no es uno-uno y $T$ ¿no es ont0?

Question

Supongamos que $V$ es el espacio de todos los $n \times n$ matrices con elementos reales. Defina $T : V \to V$ por $$T (A) = AB BA,\; A \in V,$$ donde $B \in V$ es un fija. Demuestre que para cualquier $B \in V$ ,

(a) $T$ es lineal;

(b) $T$ no es uno-uno;

(c) $T$ no está en.

Juicio: Parte (a): $$\begin{align}T(aA_1+bA_2)&=(aA_1+bA_2)B-B(aA_1+bA_2)\\&=a(A_1B-BA_1)+B(A_2B-BA_2)\\&=aT(A_1)+bT(A_2)\end{align}$$ Así que $T$ es lineal. Por favor, ayuda con los demás.

Answer 1

(b) ¿Qué es $T(I)$ ? ¿Qué es $T(0)$ ?

(c) ¿Qué es $\operatorname{tr}(T(A))$ ? ¿Qué es $\operatorname{tr}(I)$ ?

Answer 2

Pista: En $n\times n$ matriz de identidad $I$ es un elemento distinto de cero de $V$ . ¿Dónde está $T$ ¿Enviarlo? ¿Qué te dice eso sobre la inyectividad? ¿Qué te dice eso sobre el rango de $T$ ?

Answer 3

Parte (b): Para $A=B$ se obtiene $T(A)=0$ .