Límite no relativista de una densidad lagrangiana

Question

¿Qué criterios debo considerar para determinar el límite no relativista de una densidad lagrangiana? Por ejemplo, cómo sería tomar el límite no relativista de la densidad lagrangiana siguiente:

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}F{\mu \nu }F^{\mu \nu }+\left( D{\mu }\phi \right) \left( D^{\mu }\phi \right) -U\left( \left\vert \phi \right\vert \right) $$

Un método general para abordar este problema también será apreciado mucho.

Answer 1

QED es una forma innata relativista de la teoría, ya que tiene masa de partículas (fotones). Así que no tome un límite relativista debe quitar el fotón grado de libertad. Esto puede ser hecho por el tratamiento que el campo electromagnético como un ámbito clásico, es decir, uno que no está cuantificada. En la práctica, equivale a sólo tener real (en cáscara) de los fotones.

El escalar QED de Lagrange es explícitamente \begin{equation} {\cal L} = \partial _\mu \phi ^\ast \partial ^\mu \phi - V \left( \phi \right) + \left( i e A _\mu \phi ^\ast \partial ^\mu \phi + h.c. \right) + e ^2 A _\mu A ^\mu \left| \phi \right| ^2 \end{equation}

El procedimiento para encontrar las reglas de Feynman para esta teoría son los mismos que para cuando quantize $ A _\mu $. La única diferencia es que en lugar de escribir $ A _\mu \sim e ^{ - i k x } a _k \epsilon _\mu + e ^{ i k x} a _k ^\dagger \epsilon _\mu $ acaba de dejarlo como una función.

Para calcular la Feynman regla asociada con la primera interacción se puede calcular el punto dos de la función de primer orden en $e$ (dependiendo de cuán cómodo se siente con derivados acoplamientos que usted puede ser capaz de adivinar la respuesta),

\begin{equation} \left\langle 0 \right| T \phi _1 \phi _2 \int \,d^4y ( i e A _\mu \phi ^\ast \partial ^\mu \phi + h.c. ) \left| 0 \right\rangle \end{equation}

Esto lleva a la Feynman regla,

$\hspace{2cm}$

donde el $ \times $ denota el efecto de un campo externo. Tenga en cuenta que el campo externo no puede aparecer como un intermedio de partículas, ya que no fue cuantificada. El $ \tilde{A} _\mu $ es sólo la transformada de Fourier del vector potencial del sistema. Uno puede calcular de forma análoga a la de Feynman de la regla para la segunda interacción.

Una vez que tenga las reglas de Feynman para escalar QED de seguir adelante y, en principio, seguir adelante derivan todas de la clásica del electromagnetismo (a menos que actúe en spinless partículas).

EDIT: hasta ahora lo que hemos tomado QED y la redujo a tener un fondo de campo electromagnético en lugar de fotones simples interacciones. Como se ha mencionado en los comentarios de @LoveLearning este enfoque no está completa, ya que todavía estamos permitiendo relativista escalares a propagar. Sin embargo, en el no-límite relativista estos son suprimidos. Para ver por qué esto debe ser verdadero considerar el diagrama con la interacción de dos vértices,

$\hspace{5cm}$

Este diagrama está dada por, \begin{equation} ( 2 i e ) ^2 ( p _1 - p _2 ) _\mu \tilde{A} ^\mu ( p _2 - p _3 ) _\nu \tilde{A} ^\nu \frac{ i }{ p _1 ^\alpha \gamma _\alpha - m } \end{equation} Pero en el no-límite relativista, $ m \gg p _i $. El propagador suprime el diagrama por un factor de $ 1/ m $. Esta supresión se produce para cada diagrama con una cáscara de partículas. Así, en el no-límite relativista podemos omitir cualquiera de los diagramas con off-shell de partículas.