Intersección de los subgrupos de órdenes 3 y 5 es la identidad

Question

Esta es una pregunta de la libre universidad de Harvard en línea álgebra abstracta conferencias. Estoy publicando mis soluciones aquí para obtener algunos comentarios sobre ellos. Para una explicación más completa, vea este post.

Este problema es a partir de la asignación 5.

Deje $H, K$ ser subgrupos de un grupo de $G$ de las órdenes de 3,5 respectivamente. Demostrar que $H\cap K=\{1\}$.

El orden de cada elemento de $H$ debe dividir 3. Dado que el elemento de identidad es el único elemento con el fin de 1, todos los otros elementos en $H$ es de orden 3. Razonamiento Similar muestra cada nonidentity elemento de $K$ es de orden 5. Desde $H$ $K$ son ambos subgrupos de $G$ comparten el mismo elemento de identidad. Por lo tanto, $H\cap K =\{1\}$.

De nuevo, doy la bienvenida a cualquier crítica de mi razonamiento y/o mi estilo, así como soluciones alternativas para el problema.

Gracias.

Answer 1

Claro, este hace el trabajo. También se puede observar que la intersección sería un subgrupo de ambos $H$$K$. A continuación, utilizando el hecho de que el orden de un subgrupo divide al orden del grupo, esto obligaría a la orden de la intersección dividir $3$$5$, mostrando que es trivial.

Por supuesto, su solución y este son muy mucho a lo largo de las líneas de la misma; todo el ejercicio que realmente está buscando es poner a prueba su comprensión de los diversos divisibilidad de las relaciones que existen en un grupo. Escribí esto porque esto evita tener que llegar hasta el nivel de los elementos; a menudo, más limpios y estructuralmente-iluminadora pruebas evitar trabajar en el nivel de elemento. Aquí no tiene una pizca de diferencia, pero podría ser una buena práctica para más adelante, donde pensar en un mayor nivel estructural puede tener una rentabilidad más grande.