acerca de Spivak cálculo en el colector teorema de 1-4 prueba.

Question

Aquí es el teorema 1-4:

Si B es compacto y $\mathcal{O}$ es una cubierta abierta de a $\{x\}\times B$, entonces existe un conjunto abierto U $\in R^n$ contiene $x$ tales que $U\times B$ is covered by a finite number of sets in $\mathcal{S}$.

Spivak de la prueba va como esto:

Desde $\{x\} \times B$ es compacto, podemos asumir desde el principio que $\mathcal{O}$ es finito, y sólo tenemos que encontrar el conjunto abierto $U$ tal que $U\times B$$\mathcal{O}$. Para cada una de las $y \in B$ el punto de $(x,y)$ es de algún conjunto abierto $W$$\mathcal{O}$. Desde $W$ es abierto, tenemos $(x,y) \in U_y \times V_y \subset W$ para algunos rectángulo $U_y \times V_y$.

Los conjuntos de $V_y$ cubrir el conjunto compacto $B$, por lo que un número finito $\{V_{y_1}, ... , V_{y_k}\}$ también la cubierta B. que $U = U_{y_1} \cap ...\cap U_{y_k}$ Then if $(x',y') \U, \times B$, we have $s' \en V_{y_i}$ for some $i$, and certainly $x' \en U_{y_i}$, por tanto $(x',y') \in U_y \times V_y$,, la cual está contenida en algunos $W$en $\mathcal{O}$

Estoy feliz con el primer párrafo de la prueba. Pero a mí me parece que el uso de la compacidad de $B$ en el segundo párrafo no es necesario. Mi alternativa segundo párrafo dice así:

Tome $U = \cup_y U_y$. A continuación, $U$ es abierta, porque cada uno de $U_y$ está abierto. Cada una de las $U_y$ es un subconjunto de uno de los elementos de $\mathcal{O}$ ($W$). Por lo $U$ es cubierto por el finito cubierta $\mathcal{O}$. $ B$ también está cubierto por el finito cubierta $\mathcal{O}$. Por lo tanto $U\times B$ es cubierto por un número finito de subcover $\mathcal{O}$

Creo que esto es probable que sea mal y me estoy perdiendo algo. Alguna pista?

Edit: encontré el problema : la verdad es que tienen poco sentido decir O cubre B o U. Que no viven en las mismas dimensiones.

Answer 1

Aquí es un ejemplo de que la toma de la unión no iba a funcionar. Encontraremos $\{x\}\times \mathcal{B} \subseteq \mathbb{R}^{2}$.

Considere la posibilidad de $ x = 0$, $\mathcal{B}=\{0,1\}$, así \begin{gather*}\{x\}\times \mathcal{B}= \{0\}\times\{0,1\} = \{(0,0), (0,1)\} \end{reunir*} Vamos a
\begin{gather*}V_{0} = (-\frac{1}{2},1)\times (-1,\frac{1}{2}) \end{reunir*} y \begin{gather*}V_{1} =(-1,\frac{1}{2})\times(\frac{1}{2},2) \end{reunir*} tenemos $(0,0) \in V_{0}$ e e $(0,1) \in V_{1}$. Así \begin{gather*}\mathcal{O} := \{V_{0},V_{1}\}\end{reunir*} cubre $\{x\}\times \mathcal{B}$.

Supongamos que usted eligió $U_{0}$ tal que $ \frac{1}{2} \in U_{0}$. A continuación,$ (\frac{1}{2},1) \in (U_{0}\cup U_{1}) \times \mathcal{B}$, pero \begin{gather*} (\frac{1}{2},1) \not\in \Big( (-\frac{1}{2},1)\times (-1,\frac{1}{2})\cup (-1,\frac{1}{2})\times(\frac{1}{2},2) \Big) = V_{0} \cup V_{1} \end{reunir*} por Lo que no es posible abarcar $(U_{0}\cup U_{1}) \times \mathcal{B}$ con cualquier finito de la unión de elementos de $\mathcal{O}$.