Residuo del polo de alto orden

Question

Estoy tratando de calcular el residuo $\displaystyle\operatorname{Res}\left(\frac{1}{(z^2+1)^7},i\right)$ .

Sé que existe la fórmula:

$$\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\rightarrow z_0 }[(z-z_0)^mf(z)]^{(m-1)}$$

para un polo con orden $m$ .

Pero estoy bastante seguro de que no debería intentar calcular la 6ª derivada de $\dfrac{1}{(z+i)^7}$ .

¿Hay otra forma de calcular el residuo además de esta fórmula?

Answer 1

Hmm. \begin {align*} \lim_ {z \to i} \left [ \frac {1}{(z+i)^7} \right ]^{(6)}&= \lim_ {z \to i} \left [(z+i)^{-7} \right ]^{(6)} \\ &= \lim_ {z \to i} \left [-7(z+i)^{-8} \right ]^{(5)} \\ &= \lim_ {z \to i} \left [(-7)(-8)(z+i)^{-9} \right ]^{(4)} \dots \end {align*} Calcular las derivadas no parece tan malo.

Answer 2

Ampliación en $i$ , dejemos que $w = z - i$ :

$$\begin{array}{rcl} \operatorname{Res}(f,z_0) &=& \operatorname{Res}\left(\dfrac1{w^7 (w+2i)^7},0\right) \\ &=& \operatorname{Res}\left(\dfrac1{w^7}(w+2i)^{-7},0\right) \\ &=& \operatorname{Res}\left(\dfrac1{w^7}(2i+w)^{-7},0\right) \\ &=& (2i)^{-7} \operatorname{Res}\left(\dfrac1{w^7}(1-0.5iw)^{-7},0\right) \\ &=& (2i)^{-7} \displaystyle \operatorname{Res}\left(\dfrac1{w^7} \sum_{n=0}^\infty \binom {-7} n (-0.5iw)^n,0\right) \\ &=& \displaystyle (2i)^{-7} \binom {-7} 6 (-0.5i)^6 \\ &=& -\dfrac{231}{2048}i \end{array}$$