Clasificando los submódulos simples de $\mathbb{C[Q_8]}$

Question

Estoy haciendo un curso de álgebra abstracta, de momento estamos trabajando el teorema de Wedderburn y todavía no soy capaz de entender cómo utilizarlo correctamente para resolver ejercicios. He intentado resolver un problema y explicar mi razonamiento para ver dónde están los agujeros de mi comprensión y para ver si hay alguna otra forma de pensarlo o sugerencias para este tipo de problemas.

El problema que he intentado resolver es el siguiente:

Encuentra los submódulos simples de $\mathbb{C[Q_8]}$ (hasta el isomorfismo).

En primer lugar, por el teorema de Maschke sé que el álgebra de grupo es semisimple porque char( $\mathbb{C}$ ) no divide char( $\mathbb{Q_8}$ ). Esto significa que ahora puedo utilizar el teorema de Wedderburn ya que es un álgebra de dimensión finita. Por este teorema tengo la siguiente descomposición: $$ \mathbb{C[Q_8]} \simeq \prod_{i \in I} M_{n_i}(\mathbb{C})$$ Como es un isomorfismo, ambos deben tener las mismas dimensiones sobre $\mathbb{C}$ . La dimensión de $\mathbb{C[Q_8]}$ en $\mathbb{C}$ es 8. Esto implica que las únicas dimensiones posibles de las matrices álgebras son $n_1=2,n_2=1,n_3=1,n_4=1,n_5=1$ porque de lo contrario si $n_i = 1$ para $i \in \{ 1,...,8\}$ esto implicaría $\mathbb{C[Q_8]}$ es conmutativo, lo que implicaría $\mathbb{Q_8}$ es abeliano como grupo. Los otros casos $n_1 = 2, n_2 = 2$ no puede ocurrir ya que siempre hay un submódulo de un álgebra de grupo de dimensión 1 (el generado por $\sum_{h \in \mathbb{Q_8}} h$ (¿es esto correcto?).

Para encontrar estos subespacios isomorfos a $\mathbb{C}$ Consideré la $x \in \mathbb{C[Q_8]}$ tal que $i*x, j*x, k*x$ es un múltiplo complejo de $x$ . A partir de ellos he encontrado los cuatro subespacios, siendo uno de ellos el que tiene garantizada su existencia. Mi problema es que no puedo encontrar el subespacio isomorfo a $M_2(\mathbb{C})$ . Cualquier consejo y ayuda será muy apreciada.

Intenté resolver el problema de otra manera. Leí en internet pero no pude probarlo que $dim_{\mathbb{C}} Z(\mathbb{C[Q_8]}) = \# \text {conjugacy classes of $ \ de la que se ha hablado en la página web. $}$ . No he trabajado mucho con las clases de conjugación pero lo he intentado en este problema ya que también lo he visto, $dim_{\mathbb{C}} Z(\mathbb{C[Q_8]}) = \# \text {simples in the Wedderburn decomposition }$ . Por esto entendí el número de álgebras de matrices en el producto que es isomorfo al álgebra $\mathbb{C[Q_8]}$ . En este caso particular, las clases de conjugación que encontré son 5: la clase de conjugación de $\{1\}$ y $\{-1\}$ ya que ambos están en el centro del grupo. Para cada $i,j,k$ Encontré que están en su propia clase de conjugación. Así que, efectivamente, el número de clases de conjugación es el mismo que el número de álgebras de matrices en el producto, es decir, 5. Una pregunta que tengo es si a partir de estas clases de conjugación puedo obtener más información sobre estas álgebras de matrices o sólo determinan el número de ellas en el producto.

Me gustaría mucho que alguien me indicara apuntes o libros que expliquen estos teoremas y a ser posible con ejercicios similares al que he preguntado.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Esta es la notación estándar a la que me atendré:

• $\mathbb{H}$ denota los cuaterniones, a $4$ -dimensional $\mathbb{R}$ -Álgebra
• $Q_8$ denota el grupo de cuaterniones de orden $8$

Así, $Q_8=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ es un subgrupo finito de $\mathbb{H}^{\times}$ .

En aquí es una buena prueba de que la multiplicidad de un irrep $V$ en la descomposición de $\mathbb{C}[G]$ (como representación) es igual a $\dim V$ , lo que implica $\sum (\dim V)^2=|G|$ y también la fórmula

$$ e_{\small V}=\frac{\dim V}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_V(g^{-1})g $$

donde $e_{\small V}$ es el elemento de $\mathbb{C}[G]$ que actúa como identidad en $V$ y el mapa cero en todos los demás irreps. Entonces las subálgebras simples de $\mathbb{C}[G]$ son generados por estos (al igual que en $\bigoplus\mathrm{End}(V)$ ).

Todos los irreps aparecen como submódulos simples de $\mathbb{C}[G]$ hasta el isomorfismo. (No hasta el isomorfismo puede haber infinitos. Por ejemplo, aunque $\mathbb{R}^2\cong\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ como $\mathbb{R}$ -tiene sólo dos sumandos en una descomposición de suma directa, tiene infinitos submódulos simples isomórficos).

Las irreflexiones de un grupo cíclico son fáciles: son sólo homomorfismos en $\mathbb{C}^{\times}$ . También podemos utilizarlos para construir todos los irreps de un grupo abeliano finito, utilizando su clasificación. Mientras que $Q_8$ no es abeliano, tiene tres subgrupos normales de índice dos, a saber $\langle i\rangle$ , $\langle j\rangle$ y $\langle k\rangle$ por lo que el cociente es $C_2$ que tiene la representación del signo. (Cualquier rep de $G/H$ puede componerse con la proyección $G\to G/H$ para obtener una réplica de $G$ .) De esta forma, se obtienen tres equivalentes $1$ -representaciones dimensionales.

Otra representación es la "estándar". Sabemos que $Q_8$ es un subgrupo del álgebra de cuaterniones, y también que $\mathbb{H}$ es un espacio vectorial bidimensional sobre $\mathbb{C}$ . (Por "derecho" quiero decir que aplicamos escalares complejos en el lado derecho de un cuaternión en $\mathbb{H}$ para que no interfiera con la multiplicación por elementos de $Q_8$ a la izquierda). ¿Puede verificar que se trata de un irrep?

Por último, está el representante trivial. Desde $1^2+1^2+1^2+1^2+2^2=|Q_8|$ , estos son todos los irreps de $Q_8$ .

Calculando el carácter del $2$ -dim irrep, se puede obtener el idempotente correspondiente, y luego multiplicarlo por elementos para abarcar un $4$ -de la subálgebra de $\mathbb{C}[Q_8]$ isomorfo a $M_2(\mathbb{C})$ .

Por cierto, $\dim Z(\mathbb{C}[G])$ es el número de clases de conjugación, porque $x\in Z(\mathbb{C}[G])$ equivale a $gx=xg$ o en otras palabras $gxg^{-1}=x$ para cada $g\in G$ lo que implica que los coeficientes en $x=\sum c_gg$ son constantes en las órbitas de conjugación-por- $g$ es decir, clases de conjugación, por lo que los elementos $\sum_{k\in K}k$ (donde $K$ es una clase de conjugación) forman una base.