¿Existe una infinita nilpotent grupo finito centro?

Question

¿Existe una infinita nilpotent grupo finito centro?

Yo no probó que no, pero cualquiera de los ejemplos de tales grupos no vienen a mi mente.

Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Sí, pero esos ejemplos no pueden ser finitely generado.

Un infinito extraspecial grupo es un ejemplo. Deje $p$ por un primo, y deje $G$ ser el grupo que se define por la presentación $$\langle x_i\ (i \in {\mathbb Z} \setminus \{0\}),z \mid x_i^p=z^p = [x_i,z] = [x_i,x_j]=1\ (|i| \ne |j|),\,[x_i,x_{-i}]=z \rangle.$$ A continuación, $Z(G) = \langle z \rangle$ orden $p$.

Este grupo también podría ser descrito como el producto de un número infinito de copias de un nonabelian grupo de orden $p^3$.