Me preguntaba si alguien me podría dar alguna interesante contador "ejemplos" para la representación de Riesz teorema acerca funcionales sobre espacios de Hilbert. Cuando me dicen que el contador de ejemplos, estoy hablando obviamente de los ejemplos donde algunos de los supuestos básicos del teorema no se cumple, por lo que el teorema no se espera. En otras palabras - ¿podrías mostrarme algunos de los ejemplos triviales de funcionales más interior-producto de espacios que no puede ser expresado como un centro de producto con un poco de vectores en el espacio vectorial? Ya tengo un ejemplo de $C [0, 1]$ basado en el estándar de $L^2$ integral interior-producto, pero me preguntaba si alguien podría aclararme con una más que interesante ejemplo. No tengo mucho fondo, pero estoy muy interesado en escuchar acerca de este tema, y te agradecería si pudieran dar explicaciones completas para que yo pudiera entender. Gracias de antemano
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Considere la posibilidad de $c_{00}$, el espacio de todos los finitely admite secuencias, equipado con el $\|\cdot\|_2$ norma.
El funcional $$(x_n)_n \mapsto \sum_{n=1}^\infty \frac{x_n}{n}$$
está delimitada en $c_{00}$ pero no es representado por cualquier vector de $c_{00}$.
Es decir, es representado por $\left(\frac1n\right)_n \in \ell^2$, que es en la realización de $c_{00}$.
Todos los ejemplos van a ser de esta forma, es decir, el funcional se representable por algunos vector a partir de la finalización de su incompleta producto interior en el espacio.
Si $V$ es el espacio de polinomios trigonométricos dotado con la restricción de que el producto interior de $L^2[-\pi,\pi]$, entonces el funcional $\phi\in V^*$ tal que $\phi(f)=\int_{-\pi}^\pi tf(t)\,dt$ todos los $f$ no es representable como $\langle\bullet,p\rangle$ trigonométricas para cualquier polinomio $p$. Eso es porque la secuencia de $a_n=\langle \sin(nx), p\rangle$ debe ser eventualmente cero para cualquier $p$, mientras que $\phi(\sin(nx))\ne 0$ todos los $n>0$.
