Determinar la serie de Taylor para $f(x) = x^3 \cdot \ln{\sqrt{x}}$ alrededor del punto de $a = 1$ y determinar su radio de convergencia.

Question

Como la pregunta dice:

"Determinar la serie de Taylor para $f(x) = x^3 \cdot \ln{\sqrt{x}}$ alrededor del punto de $a = 1$ y determinar su radio de convergencia."

He consultado esta cuestión, y comprender los pasos que son:

1. encontrar el primer par de términos del polinomio de Taylor.
2. La generalización de los términos, haciendo uso de una infinita suma para representar la función como la serie de Taylor.
3. el uso de la infinita suma de la proporción de la prueba para encontrar el radio de convergencia.

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Progreso hasta la fecha:

1. Los primeros 6 términos (n = 0 a n = 5) del polinomio de Taylor he calculado a ser:

$x^3 \cdot \ln{(\sqrt{x})} + \frac{1}{2}(x-a) + \frac{5}{4}(x-a)^2 + \frac{11}{12}(x-a)^3 + \frac{1}{8}(x-a)^4 - \frac{1}{40}(x-a)^5$

Es en este punto, sin embargo, que me quedo con el. No es intuitivo para mí ¿cómo puedo escribir el c-términos como una función sin la necesidad de utilizar algún tipo de línea de matemáticas motor para el ajuste de los datos a una curva.

¿Hay algún tipo de primer año-estudiante-amistoso técnica para el modelado de estos puntos de datos de forma sistemática? O bien, ¿alguien tiene una intuición que estarían dispuestos a intercambiar para la solución de este problema?

Answer 1

De hecho, una gran parte del trabajo necesario ya está hecho. Vamos a recapitular. Tenemos $f(x)=x^3\ln\left(\sqrt{ x}\right)$ y la expansión de Taylor en $a=1$ es dado como \begin{align*} f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n \end{align*}

Obtenemos \begin{align*} f(x)&=x^3\ln\left(\sqrt{ x}\right)=\frac{1}{2}x^3\ln(x)\\ f^{\prime}(x)&=\frac{3}{2}x^2\ln(x)+\frac{1}{2}x^2\\ f^{\prime\prime}(x)&=3x\ln(x)+\frac{5}{2}x\\ f^{\prime\prime\prime}(x)&=3\ln(x)+\frac{11}{2}\\ f^{(4)}(x)&=\frac{3}{x}\\ f^{(5)}(x)&=-\frac{3}{x^2},\qquad f^{(6)}(x)=3\cdot\frac{2!}{x^3},\qquad f^{(7)}=-3\cdot \frac{3!}{x^4}\\ &\vdots\\ f^{(n)}(x)&=3(-1)^n\frac{(n-4)!}{x^{n-3}}\qquad\qquad n\geq 4\tag{1} \end{align*}

A partir de la cuarta derivado $\frac{3}{x}$ podemos relativamente fácil de obtener un mayor derivados y asumir la fórmula general (1) que puede ser demostrado por inducción.

Evaluados en $a=1$ hemos \begin{align*} f(1)=0, f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime\prime}(1)=\frac{5}{2}, f^{\prime\prime\prime}(1)=\frac{11}{2}, f^{(n)}(1)=3(-1)^n(n-4)!\qquad n\geq 4 \end{align*}

Obtenemos de los derivados sobre la serie de Taylor \begin{align*} \color{blue}{f(x)}&\color{blue}{=x^3\ln\sqrt{ x}}\\ &\color{blue}{=\frac{1}{2}(x-1)+\frac{5}{4}(x-1)^2+\frac{11}{12}(x-1)^3+3\sum_{n=4}^\infty\frac{(-1)^n}{n(n-1)(n-2)(n-3)}(x-1)^n} \end{align*}

El radio de $R$ de convergencia es \begin{align*} R&=\lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to \infty}\left|\frac{3(-1)^n(n+1)n(n-1)(n-2)}{3(-1)^{n+1}n(n-1)(n-2)(n-3)}\right|\\ &=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+1}{n-3}\right|\\ &=1 \end{align*}

Answer 2

$$f(x+1)=(x+1)^3\ln(\sqrt{x+1})=\frac{(x+1)^3}{2}\ln(x+1)$$ Ahora escribir $$\ln(x+1) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} $$ Y multiplicar el infinito suma por el polinomio. A continuación, puede volver a $f(x)$. Su enfoque es bueno en algunos casos, pero a menudo es sólo una suposición.

Manera más fácil para obtener el desarrollo en serie de Taylor para $\ln(1+x)$ es, creo, de la siguiente manera. Sabemos que $$\int\limits_0^x\frac{1}{1-t}dt = -\ln(1-x) $$ Pero también sabemos que la serie de Taylor para $\frac{1}{1-t}$. $$ \frac{1}{1-t}=\sum\limits_{n=0}^\infty t^n $$ Podemos integrar la suma, y podemos hacerlo término por término, y obtenemos: $$ -\ln(1-x)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} $$ Así que $$ \ln(1+x)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} $$ También puedes intentar adivinar método para derivar la serie de Taylor para $\ln(x+1)$, que será más sencillo.

Answer 3

Escribir $x=1+t$, por lo que necesita para encontrar la serie de Taylor de $$ \frac{1}{2}(1+t)^3\ln(1+t) $$ en $t=0$. Desde $$ \ln(1+t)=\sum_{n>0}\frac{(-1)^{n+1}t^n}{n} $$ su serie de Taylor es $$ \frac{1}{2}\sum_{n>0}\frac{(-1)^{n+1}t^n}{n}+ \frac{3}{2}\sum_{n>0}\frac{(-1)^{n+1}t^{n+1}}{n}+ \frac{3}{2}\sum_{n>0}\frac{(-1)^{n+1}t^{n+2}}{n}+ \frac{1}{2}\sum_{n>0}\frac{(-1)^{n+1}t^{n+3}}{n} $$ que puede escribirse como $$ \frac{1}{2}\sum_{n>0}\frac{(-1)^{n+1}t^n}{n}+ \frac{3}{2}\sum_{n>1}\frac{(-1)^{n}t^{n}}{n-1}+ \frac{3}{2}\sum_{n>2}\frac{(-1)^{n-1}t^{n}}{n-2}+ \frac{1}{2}\sum_{n>3}\frac{(-1)^{n-2}t^{n}}{n-3} $$ Ahora aislar el único término para $n=1$, los dos términos de $n=2$ y los tres términos de $n=3$: $$ \frac{t}{2}+\frac{1}{2}\left(-\frac{t^2}{2}+3t^2\right)+ \frac{1}{2}\left(\frac{t^3}{3}-\frac{3t^3}{2}+3t^3\right)+\\ \frac{1}{2}\sum_{n>3}\left(\frac{(-1)^{n+1}}{n}+\frac{(-1)^n3}{n-1}+\frac{(-1)^{n-1}3}{n-2}+\frac{(-1)^{n-2}}{n-3}\right)t^n $$ La última suma se puede escribir como $$ \frac{1}{2}\sum_{n>3}\left(-\frac{1}{n}+\frac{3}{n-1}-\frac{3}{n-2}+\frac{1}{n-3}\right)(-1)^nt^n= \sum_{n>3}\frac{3(-1)^nt^n}{n(n-1)(n-2)(n-3)} $$ por lo que el resultado final es $$ \frac{t}{2}+\frac{5}{4}t^2+\frac{11}{12}t^3+\sum_{n>3}\frac{3(-1)^nt^n}{n(n-1)(n-2)(n-3)} $$ y se puede comprobar que el coeficiente de $t^4$ es, de hecho,$1/8$; el coeficiente de $t^5$ $-1/40$ como se calcula.

La serie de Taylor para $f(x)=x^3\ln\sqrt{x}$ $1$ se obtiene sustituyendo $t$$x-1$. El radio de convergencia es el mismo que para $\ln(1+t)$, $1$. También puede calcular con la prueba de razón, como comprobación adicional.