$\int(x+1)dx$ produciendo diferentes resultados con $u$-y la sustitución de termwise integración

Question

Considerando dos métodos de integración, muy fácil:

$\int(x+1)dx$

En primer lugar, va plazo por el término: $\int(x+1)dx = x^2/2 + x + C$

O por hacer un u-subtitution. Deje $u = x+1$,$du = dx$, y la integral se convierte en

$\int u du = u^2/2$ = $\frac {(x+1)^2}{2} + C$, que no es lo mismo. Donde he ido mal?

Answer 1

Ellos son equivalentes, difieren por una constante.

Cambiar su segunda $C$ $D$y tenemos $C=\frac12 +D$.

Answer 2

Los dos resultados que difieren por una constante, que es cero cuando diferenciadas.$$\frac 12(x+1)^2=\frac 12x^2+x+\color{red}{\frac 12}=\frac 12x^2+x+\color{red}{C}$$

De hecho, en general, cuando usted está evaluando una integral indefinida y se obtienen dos resultados diferentes, la mayoría del tiempo, ambas son valiosas respuestas, ya que difieren por una constante y no porque te equivocaste en tu trabajo.

Por supuesto, usted todavía puede hacer un error al evaluar las integrales indefinidas. Sólo estoy diciendo, la mayoría de las veces, es la constante que cambia el resultado y no la de su "error" que has hecho.

Answer 3

Tenga en cuenta que $F^{\prime}(x)=f(x)$ $G^{\prime}(x)=f(x),$ $F(x)=G(x)+C$

Por Medio Del Teorema Del Valor:-

Si $F^{\prime}=G^{\prime}$ $(F-G)^{\prime}=F^{\prime}-G^{\prime}=f-f=0$

Tenga en cuenta que si una función la derivada es cero, entonces es una constante. Así, $G(x)-F(x)=c$. $G(x)=F(x)+C$

Answer 4

Esta es una posible mutación de comentario, me condujo aquí para despejar cualquier oscuridad.

La cosa es que, para bien de la reserva de toda la integridad de una integral, y para la materia de su diferencia a partir de una primitiva de la función, no se le permite quitar de inicio y de fin de coordenadas, de lo contrario vas a perder informaciones importantes que son muy necesarios para completar su identidad formal.

Ver aquí en el ejemplo de siempre: $\int_b^a (x+1)dx$ = sustituyendo las variables obtuvo $u=x+1$ donde descaradamente se olvidó de sustituir el intervalo de coordenadas demasiado, para cualquier $x_1=a$ y $x_2=b$, $u$ pone de $a+1$$b+1$, por lo que la integral se convierte en como esta $\int_{b+1}^{a+1} udu$ cuando se calcula que todo se borra.

En el gráfico podemos ver claramente la similtitude entre la sombra de los espacios con $a=0$$b=0$ .

Es clara la diferencia en el mismo intervalo [0,1] de ambas curvas.

Aquí otro ejemplo que muestra por qué el rango de la integral definida es importante, tomar $f=x^2$ $\int^2_0 x^2dx$ por sustituting valores sería igual a$\int^4_0 \frac{\sqrt{u}}{2}du$$u=x^2$, a partir de la gráfica calculando a continuación ,no es ni visualmente ni analíticamente notable que las áreas son comparables dentro de la misma gama, pero si nos delate una gama elevándola al cuadrado, la similitud pueden ser claramente evidente.

Vamos a calcular las primitivas ahora, $\int x^2dx=\frac{1}{3}x^{3}+c$, luego nos substitue variables, obtenemos $\int \frac{\sqrt{u}}{2}=\frac{1}{3}x^{3/2}+c$, espera ... tanto las integrales provienen de un mismo origen, pero son diferentes por un no-constante ? esto es lo que sucede cuando usted ignorar el inicio y final de coordenadas.

Brevemente diciendo, estos precedente informaciones calificar la diferencia entre una integral definida, y un indifinite integral donde el valor de la constante $C$ no siempre indican una diferencia.