Encontrar los valores propios para una transformación rotacional

Question

La pregunta textual es la siguiente:

Deja que la matriz $A$ ser la matriz estándar para la transformación de la matriz $T_{A} : R^{2} -> R^{2}$ que se da con la rotación $ \pi /6$ Radianes. Calcula todos los valores propios reales de la matriz $A$ (es decir, todos los valores propios que son reales, $ \lambda \in R$ .

La respuesta a esto es:

La matriz $A$ carece de valores propios reales. Esto puede verse sin realizar ningún cálculo, ya que $Ax$ corresponde a la rotación $ \pi /6$ Radianes, $Ax$ = $ \lambda x$ sólo puede ser satisfecha por el Vector cero.

¿Esto es porque la operación de rotación sólo rota las coordenadas y no las escala, esta es mi intuición detrás del razonamiento de la respuesta. Sin embargo, no estoy del todo seguro de por qué esta transformación no tiene valores propios.

Estaría agradecido si alguien pudiera ampliar esto un poco para mí.

Answer 1

Los valores propios se corresponden con los vectores propios: si la rotación $T$ tuviera un valor propio, el correspondiente vector propio daría una dirección invariable por la rotación, y ésta es obviamente inexistente a menos que se trate de una rotación por $\pi$ radianes.

Por otro lado, sobre los números complejos estas rotaciones invariantes sí existen y de hecho son todas iguales independientemente del ángulo de rotación.

Dato curioso: si se considera el plano complejo proyectivo $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$ estas direcciones invariantes de la rotación definen $2$ apunta a $\infty$ , llamado puntos cíclicos . Entonces todas las circunferencias pasan por los puntos cíclicos. Eso explica por qué al cruzar dos círculos en el plano afín (real o complejo) se obtienen como mucho sólo 2 puntos.

Answer 2

Tenga en cuenta que (un valor real) $\lambda$ es un valor propio de $x$ si y sólo si existe un vector (real) no nulo $x$ tal que $Ax = \lambda x$ . Es decir, $\lambda$ sólo será un vector propio si hay un vector propio asociado.

Tenga en cuenta, sin embargo, que si $Ax = \lambda x$ entonces vemos que $Ax$ es un vector paralelo a $x$ . Es decir: si $x$ es un vector propio de $A$ entonces la transformación $T_A$ escala (y tal vez invierte) el vector $x$ . Así que, $x$ será un vector propio si y sólo si es distinto de cero y $Ax$ es una versión a escala de $x$ .

Ahora, su línea de razonamiento se aplica. $A$ toma cada vector (real) y lo gira; el vector girado nunca será paralelo al original. Por lo tanto, $A$ no tiene vectores propios reales. Así que, $A$ puede no tener valores propios reales.

Answer 3

Voy a dejar esto aquí para empezar:

https://youtu.be/PFDu9oVAE-g

La respuesta dada a esa pregunta es trabajar con una interpretación geométrica de lo que la matriz $A$ hace a los vectores en el plano real.

La idea es que la matriz $A$ no fija ningún vector en el plano (ignorando un factor de escala) aparte del vector cero. La frase "invariante de la izquierda" tiende a utilizarse para describir esto.

Nota: Si existiera un vector propio, el hecho de que se rote y nada más debería implicar que no se estira ni se contrae ( $\lambda = \pm 1$ ). En este caso, tendría que existir un vector $v$ tal que $Av = \pm v$ . ¿Se puede intuir por qué esto no debería ser el caso con un $30$ ¿Giro de grado de cada vector en el plano real?

Answer 4

Además de las otras respuestas, hay hechos que podemos conjeturar. Por ejemplo, para todos los vectores $x$ , girando $x$ no cambia su longitud, por lo que $|Ax|=|x|$ . Por lo tanto, si $Ax = \lambda x$ entonces $|\lambda|=1$ . Los únicos valores reales de $\lambda$ que cumplen esta condición son $\pm 1$ . Así, $Ax$ debe ser $x$ o $-x$ Ambos casos son claramente falsos.

También podemos decir que sin pérdida de generalidad, $|x|=1$ . También podemos ver que todas las matrices de rotación conmutan entre sí. Así que cada vector candidato $x$ puede describirse como el vector elemental $e_1$ rotación en algún ángulo $\theta$ . Podemos representar la rotación mediante $\theta$ como $R_{\theta}$ , haciendo que $x=R_{\theta}e_1$ . Entonces $Ax = AR_{\theta}e_1$ y por conmutación de la rotación, que es igual a $R_{\theta}Ae_1$ . Si $x$ es un vector propio, entonces $Ax = \lambda x$ Por lo tanto $R_{\theta}Ae_1 =\lambda R_{\theta}e_1 $ . Desde $R_{\theta}$ es invertible, podemos anularlo en ambos lados, obteniendo $Ae_1 =\lambda e_1 $ . Por lo tanto, para ver si hay algún vector propio, sólo tenemos que examinar si el vector elemental $e_1$ es uno.