Algunos de ustedes pueden estar familiarizados con la caricatura llamada Astérix. En uno de los episodios, Obélix (el gordo muy fuerte con pantalones a rayas) entra en una competición de lanzamiento de lanzas. Vence al otro concursante lanzando literalmente su lanza por todo el mundo. ¿Es esto posible?
Sí lo es, si puedes lanzarlo con la suficiente fuerza. Sin tener en cuenta cosas como la resistencia del aire, etc. (creo que este es el menor de los problemas de verosimilitud) tienes que poner la lanza en una órbita terrestre baja, de manera que la fuerza centrípeta sea proporcionada por la aceleración gravitatoria.
$$ \frac{v^2}{R} = \frac{GM}{R^2}$$
Utilizando $R=6400\ km$ y $M= 6\times10^{24}\ kg$ , da $v= 7.9\ km/s$ . Lo suficientemente rápido como para dar la vuelta a la Tierra en 85 minutos. Habría que lanzar el arpón casi en horizontal. NB: Esto supone que no hay ayuda de la rotación de la Tierra, que podría restar unos 0,46 km/s al requisito de velocidad inicial en la dirección de lanzamiento más favorable en el ecuador.
Por supuesto, no hay forma de lanzar algo de forma balística a esa velocidad sin utilizar algún tipo de sistema de lanzamiento (y no se puede despreciar la resistencia del aire).
EDIT: En respuesta a una petición(!) - el actual récord mundial de jabalina masculina es de unos 100 metros. Ahora bien, hay mucha aerodinámica en el lanzamiento de una jabalina, pero dejemos de lado eso, en cuyo caso el alcance máximo de un proyectil es $v^2/g$ . Así, la jabalina se lanzaría a unos 30 m/s. Para lanzarla a 7,9 km/s se necesita 69.000 veces más energía cinética. Suponiendo que los brazos sean de longitud fija, ese factor es también el aumento del factor de fuerza con respecto a un lanzador de jabalina de récord mundial.
EDIT2: La respuesta de Joshua es correcta. Todo lo anterior sólo puede ser cierto para una resistencia al aire nula.
No. No importa lo fuerte que lances. Dado que las órbitas son elipses, todas las trayectorias que cumplen los criterios deben pasar por el suelo en un punto, excepto las de los agarradores de superficie.
La resistencia del aire no será despreciable, así que no tiene sentido suponer que lo será. El efecto de la resistencia del aire en cualquier forma que no sea un cuerpo elevador es una fuerza de arrastre hacia atrás, por lo que la trayectoria es ahora una espiral descendente. Las formas de elevación no pueden utilizarse aquí debido a la necesidad de mantener el perfil de arrastre lo suficientemente pequeño como para no quemarse. Fin de la historia.
TL,DR: no se puede hacer porque no hay una lanza lo suficientemente fuerte como para soportar la aceleración.
Respuesta larga:
Hay dos órbitas que darían este resultado. La primera es aquella en la que se lanza el arpón "ligeramente hacia arriba": se elevaría fuera de la atmósfera a medida que el arrastre lo ralentiza, y descendería lentamente en un ángulo cada vez más pronunciado al reentrar. Con los parámetros de lanzamiento adecuados (que dependen en gran medida de la relación masa/arrastre del arpón) se puede encontrar una órbita de este tipo.
La segunda órbita es "casi recta hacia arriba y hacia abajo". Aprovechando el efecto Coriolis, si se lanza una lanza (cualquier objeto) verticalmente hacia arriba (con un ligero ángulo, eliminando la componente horizontal de la velocidad debida a la rotación, que es de unos 460 m/s en el ecuador), la Tierra girará por debajo. El objeto que tarda 24 horas en volver caerá al mismo lugar de la tierra después de una vuelta completa. En realidad, es relativamente fácil estimar los parámetros de esta "órbita" (sobre todo porque la fase de arrastre será bastante corta en comparación con la órbita total). La fuerza de la gravedad es
$$F_g = mg\left(\frac{R}{h+R}\right)^2$$
donde $h$ es la altura, y $R$ es el radio de la tierra. La ecuación del movimiento es entonces
$$\frac{d^2h}{dt^2} = g \left(\frac{R}{R+h}\right)^2$$
Esto es realmente complicado de integrar, pero la integración numérica me dice que si se utiliza una velocidad inicial de unos 14.600 m/s, el objeto se elevará hasta una altura de $1.9\cdot 10^8 m$ y volver en casi exactamente 24 horas. Está claro que no se puede hacer esto sin tener en cuenta la luna (ya que llegaría casi a la mitad de la luna, no se puede ignorar su gravedad) pero son hablando de la física de los dibujos animados. Y la respuesta es bastante diferente que si se ignora la forma en que la gravedad disminuye con la altura (suponiendo una atracción constante, se necesitaría una velocidad inicial de 86400 * 9,8 / 2 ~ 423 km/s frente a 14,6 km/s).
Vamos a estimar la fuerza de la fricción del aire a continuación. Supondré una lanza de tungsteno de 3 cm de diámetro. La lanza completa tiene 2 m de longitud, digna de un gran guerrero como Obélix. La masa de un arma tan poderosa es de unos 25 kg, y la resistencia muy aproximadamente dado por
$$F_d = \frac12 \rho v^2 A C_D = \mathrm{0.5 * 1.2 * 14600^2 * \pi * 0.03^2 * 0.2 \approx 2\cdot 10^4 N}$$
Tenga en cuenta que estoy utilizando un muy aproximado coeficiente de arrastre supersónico de 0,2 - referencia . Con tanta resistencia, la lanza perderá un 5% de su impulso en el primer segundo de vuelo, pero eso es todo, ya que se encontrará rápidamente en el espacio exterior ("aire fino"). Para estar seguros, podríamos aumentar la velocidad inicial en un 10% aproximadamente, llevándola a 16 km/s.
Entonces, ¿puede Obélix lanzar una lanza de 25 kg a esa velocidad? Suponiendo que tiene un "brazo" de 1 m, y una aceleración constante, llegar a 16 km/s en 1 m requiere una aceleración
$$a = \frac{v^2}{2d} = \mathrm{128\cdot10^6 m/s^2}$$
Esto requiere una fuerza $F=m\cdot a \approx 3 GN$ . Un tipo que casualmente puede lanzar un menhir contra un grupo de soldados romanos es obviamente muy fuerte - pero giga Newtons es mucha fuerza. Lanzar una piedra de 1.000 kg a más de 100 m requiere una velocidad de lanzamiento de 31 m/s y, por tanto, una fuerza de órdenes de magnitud menores (500 kN). Pero centrémonos en las fuerzas sobre la lanza. Y ahí es donde se pone interesante... porque estamos en el límite de las propiedades mecánicas de la lanza.
La resistencia al pandeo de una varilla que se mueve libremente por un extremo viene dada (casi) por
$$F_{max} = \frac{\pi^2EI}{(0.7\cdot \ell)^2} $$
Para la lanza magnífica, E=400 GPa, $I = \frac{\pi}{4}r^2 = 4\cdot 10^{-8} m^4$ y tomamos $\ell = 1m$ ya que suponemos que se mantiene en el centro.
$$F_{max}\approx 240 kN$$
Eso parece bastante fuerte - se podría equilibrar 4 elefantes en la parte superior de la lanza, y estará bien. Pero aquí estamos hablando de mucha más fuerza - giganewtons, no kilonewtons.
Por lo tanto, por muy fuerte que sea Obélix, no hay ningún material en el mundo lo suficientemente fuerte y denso como para resistir la aceleración a la velocidad necesaria para esta hazaña.
Nota - He hecho este cálculo para el "lanzamiento vertical". Podríamos repetirlo para el "lanzamiento orbital", pero en ese caso hay que tener en cuenta mucha fricción atmosférica. Suponiendo que se pueda lanzar en un ángulo de 10 grados con respecto a la horizontal para escapar de la atmósfera, el cálculo anterior sugiere que podría necesitar el doble de la velocidad inicial para "salir". Si empezamos a 8 km/s (la velocidad aproximada de la "órbita de superficie" calculada por Rob Jeffries), duplicar esa velocidad para tener en cuenta la resistencia nos lleva al mismo valor. E incluso si se intentara llevar la lanza a 8 km/s "sólo", el cálculo anterior nos sigue diciendo que "no se puede". Por supuesto, la fuerza necesaria se reduce 4 veces si la velocidad disminuye 2 veces (simple argumento energético), pero eso nos lleva a una fuerza del orden de cientos de MN, que sigue siendo demasiado grande en unos 4 órdenes de magnitud.
Ah, y hay una cosa más: la fuerza de tracción en la parte posterior de la lanza será la mitad de la fuerza total (1,5 GN), y con una superficie de $\mathrm{7 cm^2}$ es decir, una tensión de 200 GPa. La resistencia última del tungsteno es de aproximadamente 1,5 GPa fuente por lo que se rasgará.
Llego a la conclusión de que esta hazaña es físicamente imposible: no hay ninguna lanza que pueda soportar ser lanzada así.
No, no se puede lanzar una lanza lo suficientemente fuerte como para rodear la tierra.
El profundidad de impacto $D$ de una lanza de madera de longitud $L=2.5m$ (densidad $d_1$ debajo de $1000\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}$ ) en el aire (densidad $d_2$ sobre $1.2\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}$ ) es de unos 2 km (utilizando la aproximación de Newton $D = L \frac{d_1}{d_2}$ ). Tenga en cuenta que la velocidad no entra aquí, por lo que lanzar más fuerte no ayuda.
Después de esta longitud, la lanza ha transferido su impulso al aire, y caerá. Obviamente, 2 km no son suficientes para dar la vuelta a la tierra.
Creo que a las velocidades que calculó Rob Jeffries, podemos ignorar con seguridad la aerodinámica de una lanza (lo que haría inválida la aproximación de Newton).
Según este documento (nota: probablemente haya un muro de pago), puedo extraer tres importantes razones por las que no se puede realmente lanzar una lanza alrededor de la Tierra. El artículo, para los que no puedan acceder a él, se titula "Effect of Vibrations on Javelin Lift and Drag". En él, muestran que la amplitud de las vibraciones inducidas en una jabalina es mayor con una mayor velocidad de lanzamiento. También muestran que la fuerza de arrastre en una jabalina debido a estas vibraciones es una función integral del cuadrado de su velocidad transversal (básicamente, la velocidad RMS de los modos vibratorios). Además, muestran que las fuerzas de arrastre y de flujo transversal sobre la jabalina varían significativamente en magnitud y dirección a lo largo de su longitud. Estas diferencias incluyen una mayor elevación en la cabeza y una mayor resistencia en el centro. Esto significa que la jabalina es inicialmente propensa a aumentar su ángulo de ataque, que presenta una mayor sección transversal hacia la dirección del movimiento.
Este análisis se realizó para velocidades de hasta unos $30m/s$ ; no el $7900m/s$ necesario para dar la vuelta a la Tierra. Simularon para amplitudes vibratorias de hasta $0.1m$ . Esto nos lleva a la primera razón por la que esto es imposible; para una velocidad de lanzamiento tan grande, las vibraciones inducidas tendrían una amplitud mucho mayor que $0.1m$ . Esto tendría el efecto de aumentar las diferencias entre la magnitud de las fuerzas en cada punto durante el vuelo, así como el aumento de las magnitudes en general (la magnitud y la variabilidad estaban relacionadas con la amplitud de las vibraciones. Piensa en las tensiones de cizallamiento). En estas condiciones, la lanza de madera simplemente se haría añicos (o más bien, explotaría espectacularmente).
Si se mantuviera intacta, el aumento de la amplitud de las vibraciones supondría un incremento de la velocidad transversal, lo que aumenta drásticamente la resistencia del arpón. $7900m/s$ dejaría de ser casi suficiente para dar la vuelta al mundo.
La tercera razón por la que esto no es posible tiene que ver con el aumento del ángulo de ataque. A velocidades tan altas por encima de la velocidad del sonido, la compresión del aire provoca un aumento masivo de la temperatura. Esto se mitiga si la sección transversal expuesta a la dirección del movimiento es menor, pero un ángulo de ataque mayor sumado a los modos vibratorios de gran amplitud hace que la lanza presente una superficie mayor. Estoy relativamente seguro de que esto sería cierto incluso sin vibraciones (aunque ayudan a que sea más cierto), pero la compresión y el calentamiento del aire en este caso quemarían completamente la lanza antes de que diera una sola vuelta al mundo. Intenta recordar la cantidad de atmósfera que atraviesa. Un meteorito a menudo no sobrevive para golpear el suelo, y eso viaja a través de mucha menos atmósfera de lo que lo haría esta lanza. Una lanza de madera con una cabeza de bronce (¿hierro? no soy historiador) no resistiría.
¡Gracias, física! Una vez más traes la fría salpicadura de la realidad para arruinar otra travesura de dibujos animados. ¿Qué haríamos sin ti?
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