Deje que $X$ sea un conjunto infinito y $τ$ una topología en $X$. Si cada subconjunto infinito de $X$ está en $τ$, demuestra que $τ$ es la topología discreta.

Question

He estado pensando en esto durante un tiempo, pero no puedo resolverlo. Creo que la prueba de esto es similar a la prueba de que la topología que contiene todos los conjuntos unitarios es la topología discreta, en el sentido de que esa prueba utilizaba la unión infinita de unitarios para construir cada subconjunto. En este caso, imagino que de alguna manera el uso de intersecciones finitas puede crear cada subconjunto finito de $X$, pero eso parece extraño y no estoy seguro de cómo demostrarlo.

¿Es esto correcto? ¿Alguien puede mostrarme por dónde empezar?

Answer 1

Pista. Hay una inyección $i:\Bbb N\to X$.

Para $x\in X$ considera los conjuntos infinitos $i(2\Bbb N)\cup \{x\}$ e $i(2\Bbb N+1)\cup \{x\}$.

Answer 2

Estoy asumiendo que $X$ es infinito, de lo contrario la afirmación no es válida.

Solo necesitamos probar que los singletones $\{x\}$ son abiertos, para todo $x \in X$.

$X \setminus \{x\}$ también es un conjunto infinito, por lo que existen conjuntos infinitos $A, B \subseteq X \setminus \{x\}$ tales que $A \cap B = \emptyset$.

Por ejemplo, sea $\{a_n : n \in \mathbb{N}\}$ un subconjunto contable de $X \setminus \{x\}$ y luego definimos $A = \{a_{2n} : n \in \mathbb{N}\}$ y $B = \{a_{2n - 1} : n \in \mathbb{N}\}$.

Ahora $A \cup \{x\}$ y $B \cup \{x\}$ son subconjuntos infinitos de $X$, por lo que son abiertos.

Por lo tanto, $$\{x\} = (A \cup \{ x \}) \cap (B \cup \{ x \})$$ también es abierto como intersección de dos conjuntos abiertos.

Ahora un $S \subseteq X$ arbitrario es simplemente

$$S = \bigcup_{x \in S} \{x\}$$

que es una unión de conjuntos abiertos.

Answer 3

Este es un buen comienzo. Definitivamente aprovecha el hecho de que la intersección de dos conjuntos abiertos en un espacio topológico es en sí mismo un conjunto abierto. En particular, piensa en cómo puedes obtener un conjunto de un solo elemento $\{x\}$ mediante la intersección de dos conjuntos conocidos por ser abiertos en este espacio.

Mostrar que un conjunto de un solo elemento es abierto implica que todos lo son. Debido a que el conjunto de todos los conjuntos de un solo elemento es una base para la topología discreta, esto muestra que $\tau$ es efectivamente discreto. En otras palabras, nota que ahora puedes escribir cualquier subconjunto $Y \subset X$ como una unión de conjuntos demostrados como abiertos:

$$Y = \bigcup_{y \ \in \ Y} \ \{y \}$$

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Independientemente de la cardinalidad de $X$, siempre podemos encontrar una inyección $\phi: \mathbb{N} \hookrightarrow X$. Si deseamos mostrar que $\{x\}$ es un conjunto abierto, puede ser conveniente construir un $\phi$ de tal manera que $x \in \phi(\mathbb{N})$. De esta forma, primero puedes resolver el problema en los números naturales, tratando de obtener el singleton $\big\{\phi^{-1}(x) \big\}$ como intersección de dos subconjuntos infinitos de $\mathbb{N}$; la ventaja es que $\mathbb{N}$ tiene elementos etiquetados y un orden para facilitar el pensamiento. Una vez hecho, la idea se puede transferir a $X$ a través de $\phi$ (que tal $\phi$ garantice existir es suficiente).

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Este es un tema común en topología. A menudo, puedes demostrar que algo es cierto acerca de un espacio topológico siempre y cuando puedas demostrar que también es cierto acerca de una base para la topología en cuestión. Por ejemplo, el hecho usado anteriormente fue: si $\mathcal{B}$ es una base para una topología $\tau'$, entonces $\mathcal{B} \subset \tau \implies \tau' \subset \tau$. Otro ejemplo que viene rápidamente a la mente es que una función $f:X \rightarrow Y$ entre espacios topológicos es un mapa abierto siempre y cuando la función sea un mapa abierto con respecto a los elementos de una base para $X$, debido al hecho de que $\displaystyle f \left( \bigcup_k U_k \right) = \bigcup_k f(U_k)$. En la misma línea, es suficiente, al demostrar que una función es continua, mostrar solo que las preimágenes de los elementos de la base de $Y$ son abiertos en $X.

Answer 4

Considera un punto $x\in X$ y elige una partición de $\{x\}^c$ como $\{x\}^c=A \coprod B$, donde tanto $A$ como $B$ son infinitos.

Entonces $A\coprod \{x},B\coprod \{x\} \in \tau$ y por lo tanto $\{x\}=(A\coprod \{x\})\cap (B\coprod \{x\}) \in \tau$.

Por lo tanto cada $\{x\}\in \tau$ es abierto y por lo tanto $\tau$ es discreta.