Edit: en Referencia a su solución, con el fin de
$$ F\left( -x, \frac 1 2 (x^2 - 2x) \right) = 0$$
para ser verdad, usted necesita
$$ F(u_1, u_2) = - \frac 1 2 u_1^2 - u_1 + u_2.$$
Con $u_1 = t - u$$u_2 = \frac 1 2 (u^2 - 2x)$, esto le da
$$ - \frac 1 2 (t - u)^2 - (t - u) + \frac 1 2 (u^2 - 2x) = 0,$$
que simplifica para dar
$$ u = \frac {x + t + \frac 1 2 t^2 }{1 + t}.$$
Original respuesta: Esta es una solución mediante el método de las características. La idea es estudiar el comportamiento de $u$ en un escogidos cuidadosamente, de la familia de curvas en $(x,t)$-espacio en el cual la ecuación es manejable.
Así que supongamos $u(x,t)$ es una solución para el PDE. Consideremos una particular familia de curvas de $s \mapsto (x(s), t(s))$, es decir, la familia de curvas que obedecen a las ecuaciones diferenciales
$$ \frac{dt(s)}{ds} = 1, \ \ \ \ \ \ \frac{dx(s)}{ds} = u(x(s), t(s)) .$$
Usando la regla de la cadena, junto con el original de la PDE, se puede comprobar que en cualquier curva de esta familia, la función de $s \mapsto u(s) := u(x(s), t(s))$ obedece a la ecuación diferencial
$$ \frac{du}{ds} = 1. $$
La solución de estas ecuaciones diferenciales, vemos que, para cualquier curva dentro de nuestra familia, $t(s), x(s)$ $u(s)$ son de la forma,
$$ t(s) = a + s, \ \ \ x(s) = b + cs + \tfrac 1 2 s^2, \ \ \ u(s) = c + s.$$
donde las constantes $a, b, c$ son particulares a la curva específica que estamos considerando.
Hay una cierta redundancia en estas constantes $a, b, c$. En primer lugar, podemos suponer que $a = 0$ sin pérdida de generalidad, ya que esto puede ser compensado mediante la redefinición de $s \mapsto s + a$. En segundo lugar, la condición de contorno $u(x, 0) = 0$ asegura que $c = b$.
Así que, resumiendo, hemos definido una familia de curvas que foliadas nuestro dominio. Los miembros de esta familia son etiquetados por $c$; cada una selección de $c$ corresponde a una curva dentro de nuestra familia. La trayectoria de cada individuo curva programable por el parámetro de $s$, y las expresiones para $t(s)$, $x(s)$ y $u(s):=(x(s),t(s))$ a lo largo de la curva está dada por
$$ t(s)=s, \ \ \ \ \ x(s)=c+cs+\tfrac 1 2 s^2, \ \ \ \ \ u(s) = c + s.$$
Ahora supongamos que elegir un punto de $(x,t)$. Para solucionar el problema se plantea en su pregunta, estamos obligados a proporcionar el valor de $u$ en este punto $(x, t)$.
Y para ello, sería de gran ayuda si podemos averiguar: (i) que la curva dentro de nuestra familia de curvas de este punto se encuentra en (es decir, lo que el valor de $c$ corresponde a la curva que contiene este punto), y (ii) ¿cuál es el valor de $s$ describe a la ubicación del punto de la curva.
Claramente, la respuesta a (ii) es que el valor de $s$ descripción de la ubicación de nuestros puntos de su curva es $$s = t.$$ Having identified this, it is immediate that from the equation $x = c + ct + \tfrac 1 2 t^2$ that the answer to (i) is that the curve containing our point is the curve whose value of $c$ es
$$ c=\frac{x-\tfrac 1 2 t^2}{1+t}. $$
Por último, el uso de la expresión $u(s)=c+s$, que proporciona el valor de $u$ a una posición determinada en una curva particular, y sustituyendo en el valor de $c$ correspondiente a nuestra curva y el valor de $s$ correspondiente a la ubicación de nuestro punto de esta curva, tenemos
$$ u(x,t)=\frac{x + t + \tfrac 1 2 t^2}{1+t},$$
y esta es la solución para el problema original.
