Si $g$ es 2 veces diferenciable en $[a,b]$ y $g''+g'\,g=g$ y $g(a)=g(b)=0$ demuestre que $g=0$ .

Question

Sea $g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ dos veces diferenciable tal que $$g''(x)+g'(x)\,g(x)=g(x),~x\in [a,b]$$ y $g(a)=g(b)=0$ . Demostrar que $g(x)=0$ para todos $x\in [a,b].$

Inténtelo . Parecía uno de esos ejercicios en los que multiplicando por un factor adecuado obtenemos una derivada. Empecé multiplicando por $g$ después de $e^g$ pero no obtuve lo que esperaba. ¿Estoy en el camino equivocado?

Gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

Pista: Considera lo que dice la ecuación cuando $x$ es un máximo global o un mínimo global de $g$ .

A continuación se oculta la respuesta completa.

Supongamos que $x\neq a,b$ es un máximo global de $g$ . Entonces $g'(x)=0$ y $g''(x)\leq 0$ . Pero la ecuación dada dice entonces que $g''(x)=g(x)$ así que $g(x)\leq 0$ . Desde $g(a)=g(b)=0$ esto significa que el valor máximo de $g$ sólo puede ser $0$ . Del mismo modo, el valor mínimo de $g$ es $0$ Así que $g(x)=0$ para todos $x$ .

Answer 2

Tenemos

$$g'' +(g'-1)g=0\Rightarrow-\frac{g''}{1-g'} = g$$

entonces

$$\ln(1-g')=\int g(\tau)d\tau$$

y luego

$$g' = 1 - e^{\int g(\tau) d\tau}$$

Ahora bien $g$ es dos veces continua $g'$ debe ser nulo para al menos un $a < \eta < b$ o

$g'(\eta) = 0\Rightarrow e^{\int_0^{\eta}g(\tau)d\tau } = 1\Rightarrow g(\tau) = 0$ para $\tau \in (a,b)$ porque de lo contrario $e^{\int_0^{\eta}g(\tau)d\tau } \ne 0$ y entonces no es posible la existencia de tal $\eta$ que es un absurdo debido al teorema de Rolle.