Sangaku - Encontrar el diámetro de los círculos congruentes en una $9$ - $12$ - $15$ triángulo rectángulo

Question

Me llamó la atención un problema de sangaku en este libro por Ubukata Tou. Muestra esta figura:

La pregunta nos pide que encontremos el diámetro de los círculos (ambos círculos son congruentes) en un triángulo rectángulo ( $ABC = 90$ ), donde $AB = 9$ y $BC = 12$ . También dice que el diámetro de los dos círculos es $30/7$ . ¿Cómo resolverías este problema? En el libro, también se dice que este era un problema de principios del período Edo, lo que sugiere que la trigonometría puede no haber existido en Japón entonces . Sería muy interesante ver una solución sin el uso de la trigonometría entonces.

Answer 1

De la figura siguiente, $\triangle AJI \cong \triangle KJC$ . Así que $9+4z = 12-3z$ y $z = \frac 37$ .

Así que uno de los círculos es el círculo inscrito del triángulo que tiene longitudes de lado $\frac{75}{7}, \frac{60}{7}$ y $\frac{45}{7}$ , por lo que el radio es

$$ \frac 12 \left(\frac{45}{7} + \frac{60}{7} - \frac{75}{7}\right) = \frac{15}{7}. $$

Answer 2

Dejemos que $M$ , $N$ sean los centros de los círculos respectivamente más cercanos a $A$ , $C$ . Que el paralelo a $BC$ a través de $N$ y en paralelo a $AB$ a través de $M$ se cruzan en $L$ . Que los círculos se toquen $AC$ en $P$ y $Q$ ( $P$ más cerca de $A$ ). Entonces $MNQP$ es un rectángulo por lo que $PQ = 2r$ y que $AP=x$ y $CQ=y$ . Que los círculos se toquen $BC$ en $R$ y $AB$ en $S$ .

Entonces $CR = y$ y $AS=x$ . Desde $AC= 15$ tenemos $$x+y+2r =15$$ donde $r$ es el radio de los círculos. Como $\triangle ABC\sim \triangle MLN$ tenemos $${2r\over 15} = {9-x-r\over 9} = {12-y-r\over 12}$$ obtenemos $$ x= {15-11r\over 5}\;\;\;\;{\rm and}\;\;\;\;y={60-13r\over 5}$$ Introduciendo esto en $x+y+2r=15$ obtenemos $$r={15\over 7}$$

Answer 3

Como persona que ha leído el primer volumen de "Tenchi Meisatsu", puedo comentar que el hombre que resuelve el problema en la novela es Seki Takakazu. También se le describe como el "Newton japonés" y contribuyó en gran medida al desarrollo del "wasan", o "matemáticas japonesas". Se sabe que un aprendiz de Seki Takakazu creó la primera tabla trigonométrica japonesa a principios del periodo Edo, por lo que se puede deducir que había muchas posibilidades de que el propio Seki Takakazu hubiera descubierto la trigonometría básica con anterioridad, dado que era un genio de las matemáticas.

La novela también menciona que el Teorema de Pitágoras era una ecuación popular utilizada entre muchos "frikis de las matemáticas" durante el Periodo Edo, especialmente el Triple de Pitágoras 3, 4, 5. Por lo tanto, se puede utilizar para trazar una línea desde el centro del círculo superior hasta A, y desde el centro del círculo inferior hasta C. Sumando los radios de ambos de forma parecida al teorema de las "dos tangentes desde un punto fuera del círculo", podemos resolver el problema de forma mucho más sencilla:

(Esta imagen tiene un ligero error con OD. Debería ser O'D.)

Aunque sigue siendo poco probable que Seki Takakazu resolviera el problema utilizando la trigonometría (ya que la novela le muestra respondiendo a la pregunta en un instante, sin trabajar), puedo confirmar que no hay que preocuparse por cómo abordar el problema. Por lo tanto, me gustaría compartir también el siguiente método de trabajo: