Así que si me dan $H$ cuando puedo concluir que hay un grupo $G$ tal que $H\cong G/Z(G)$ ? Es fácil demostrar que los grupos cíclicos no triviales son no de esta forma. Más generalmente, cualquier grupo con la propiedad de que todos los subgrupos generados finitamente son cíclicos (por ejemplo $\mathbb{Q},\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ ) no puede ser de esta forma. ¿Hay otros?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Los grupos que busca se llaman grupos capaces . La determinación de todos los grupos capaces (incluso de todos los grupos capaces finitos) está muy lejos de hacerse.
El primer resultado se debe a Baer, que caracterizó exactamente qué grupos que son sumas directas de grupos cíclicos son capaces (Baer, Reinhold. Grupos con centrales y cocientes centrales preasignados , Trans. Amer. Math. Soc. 44 (1938), 387-412; de hecho, Baer consideró la cuestión de cuándo un grupo tiene un centro y un cociente central específicos, cada uno de los cuales es una suma directa de grupos cíclicos. Se obtiene la caracterización de los grupos capaces como corolario). Para grupos abelianos finitamente generados, esto se convierte en:
Teorema. Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano finitamente generado, escrito como suma directa de grupos cíclicos $$G = C_{a_1}\oplus\cdots\oplus C_{a_n}$$ con $a_1|a_2|\cdots|a_n$ ( $C_0$ denota el grupo cíclico infinito). Entonces $G$ es capaz si y sólo si $n\gt 1$ y $a_{n-1}=a_n$ .
Existe una generalización de este resultado, sustituyendo los grupos abelianos por $p$ -y sustituyendo la suma directa por el producto nilpotente ( Capacidad de productos nilpotentes de grupos cíclicos y Capacidad de productos nilpotentes de grupos cíclicos II J. Group Theory 8 , no. 4 (2005), 431-452; y J. Group Theory 10 no. 4 (2007), 441-451):
Teorema. Dejemos que $p$ sea un primo y que $c$ sea un número entero positivo, $c\leq p$ . Si $G$ es el $c$ -producto nopotente de grupos cíclicos $$G = C_{p^{a_1}}\coprod^{c}\cdots\coprod^{c} C_{p^{a_n}}$$ donde $\coprod^{c}$ representa el $c$ -producto nopotente, y $1\leq a_1\leq\cdots\leq a_n$ . Entonces $G$ es capaz si y sólo si $n\gt 1$ y $a_n\leq a_{n-1}+\lfloor\frac{c-1}{p-1}\rfloor$
La última condición es, de hecho, necesaria en general para $p$ -grupos:
Teorema. (2005) Deja $G$ sea un nilpotente $p$ -grupo de clase $c\gt 0$ y que $x_1,\ldots,x_n$ sea un conjunto generador de $G$ con $x_i$ de orden $p^{a_i}$ , $a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n$ . Si $G$ es capaz, entonces $n\gt 1$ y $a_n\leq a_{n-1}+\lfloor\frac{c-1}{p-1}\rfloor$ .
La capacidad extraespecial $p$ -Los grupos no se clasificaron hasta 40 años después de Baer (F.R. Beyl, U. Felgner y P. Schmid. Sobre los grupos que ocurren como grupos de factores centrales , J Álgebra 61 (1979), 161-177). La única capacidad extraespecial $p$ -son los grupos no abelianos de orden $p^3$ y el exponente $p$ .
Aparte de estas clases, existe una clasificación completa de los capaces $2$ -generado $p$ -grupos de clase dos. Puede encontrar el artículo (con Robert F. Morse) Ciertos funtores homológicos para $2$ -generado $p$ -grupos de clase 2 , en Teoría Computacional de Grupos y Teoría de Grupos II, Matemáticas Contemporáneas 511 (2010), pp 127-166, American Mathematical Society.
Hay muchas condiciones necesarias conocidas, pero en general las condiciones suficientes son más difíciles de encontrar. Phillip Hall comentó hace 70 años ( La clasificación de los grupos de primera potencia J. Reine Angew. Math. 182 (1940) 130-141) que:
La cuestión de las condiciones de un grupo $G$ debe cumplir para que pueda ser el cociente central de otro grupo $H$ , $G\cong H/Z(H)$ es interesante. Pero aunque es fácil escribir una serie de condiciones necesarias, no es tan fácil estar seguro de que sean suficientes.
