Teorema de Bolzano -Weierstrass y continuidad uniforme

Question

El siguiente problema tiene pistas, pero actualmente no puedo usarlo.

Supongamos que$f$ es uniformemente continuo en$(a,b]$, y permite que$\{x_n\}$ sea una secuencia fija en$(a,b]$ que converja en$a$. Demuestre que la secuencia$\{f(x_n)\}$ tiene una subsecuencia convergente (Sugerencia: utilice el teorema de Bolzano Weierstrass)

Ahora permita que$L$ sea el límite de la subsecuencia convergente de$\{f(x_n)\}$. Demuestre, utilizando la continuidad uniforme de$f$ en$(a,b]$, que$$\lim_{x\to a^+}f(x)=L.$ $

Answer 1

$f$ es uniformemente continuo en$(a,b]$ y, por lo tanto, está delimitado. $x(n)$ es una secuencia fija en$(a,b]$ que converge a a, por lo que$f(x(n))$ es una secuencia limitada. Por Bolzano Weierstrass$f(x(n))$ tiene una subsecuencia convergente. Deje$L$ ser el límite de la subsecuencia convergente,$x(n_k)\to x$, por lo tanto,$$f(x(n_k))\to f(x)$$ as $ f$ is uniformly continuous. So as a sequence can only have one limit, $$f(x(n))\to L.$ $

Answer 2

Sugerencia: Bolzano Weierstrass dice que cada secuencia real limitada tiene una subsecuencia convergente. Si$x_n \to a$ y$f$ es uniformemente continuo. ¿Está ligado?

Answer 3

Como$f$ es uniformemente continuo en$(a,b]$, está delimitado. Además,$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)$ existe, digamos$c$. Entonces podemos definir \begin{align} g(x)=\begin{cases}f(x), \,\,\,x\in (a,b]\\ c,\,\,\,x=c.\end {casos} \ end {align} Entonces$[a,b]$ es un intervalo cerrado y delimitado por el teorema del valor intermedio. Luego, aplicando el teorema de Bolzano-Weierstrass sobre$g([a,b])$ se obtiene el resultado.