Suponga $u$ es armónica en $U^{+}$, $u\equiv0$ en $\partial U^{+}\cap\mathbb{R}^{n}_{+}$, e $u\in\mathscr{C}^{2}(\bar{U}^{+})$ donde $U$ es la bola de $B_{1}(0)$ radio $1$ sobre el origen de $\mathbb{R}^{n}$, $U^{+}$ siendo la mitad superior de una pelota de: $U^{+}:=U\cap\partial\mathbb{R}^{n}_{+}.$
(Este es el problema #2.5.-algo en Evans PDE de texto).
Queremos mostrar (bajo el supuesto de la regularidad de $u$) que la extensión impar de $u$ a $U^{-}$ nos proporciona una con una función armónica en todos los de $U$. Es decir, si $v=u$ en $U^{+}$, $v=0$ en $\partial U\cap\mathbb{R}^{n}_{\pm}$, e $v=-u(-x)$$U^{-}$, $v$ es armónico y $\mathscr{C}^{2}$$U$.
Bueno, es obvio $v$ $\mathscr{C}^{2}$ en el apartado de los conjuntos de $U^{+}$$U^{-}$. Desde $u$ $\mathscr{C}^{2}$ hasta el límite de $U^{+}$ (en particular hasta $\bar{U}\cap\mathbb{R}^{n}_{+}$), también está claro que $v$$\mathscr{C}^{2}$$\bar{U}$. También vemos que el $v$ satisface la media del valor de las propiedades en $U^{+}$$U^{-}$, y también en $U\cap\mathbb{R}^{n}_{\pm}$ debido a la simetría impar.
Aquí está mi problema, y de todas las pruebas que he visto, esto se pasa por alto. La media de propiedades de valor de $u$ están satisfechos en $U^{+}$, $U^{-}$ y $\partial U\cap\mathbb{R}^{n}_{+}$, sí. Pero sólo cuando se ve de forma individual. ¿Cómo se utiliza el hecho de que $v\in\mathscr{C}^{2}(\bar{U})$ a continuación, muestran que la media del valor de la propiedad se cumple en todos los de $U$ (no sólo de los tres mencionados se establece cuando el esférico promedios están restringidos a los conjuntos de individuos). En otras palabras, ¿cómo se puede justificar la ampliación de un esférico promedio a través de los tres conjuntos (digamos en un punto de $x\in U^{+}$ con un radio suficientemente grande para que se cruzan todos los tres grupos, pero lo suficientemente pequeño para permanecer en $U$).
Voy a reiterar esto: cada prueba que he visto no hace referencia explícita a la $\mathscr{C}^{2}$ regularidad de $v$. Si la media del valor de la propiedad se puede demostrar sin $\mathscr{C}^{2}$ regularidad, entonces todo lo que uno necesita es $\mathscr{C}$ regularidad (ni siquiera la diferenciabilidad) de $v$ en orden a la conclusión de $v$ es armónica (es fácil probar que una función continua que satisface la media del valor de la propiedad en cada punto de un conjunto abierto es armónica). Pero si este fuera el caso, entonces ¿por qué habría de Evans (y otros textos donde el problema se plantea) se insiste en que requieren $u$$\mathscr{C}^{2}$$\bar{U}^{+}$, y por lo tanto $v$ $\mathscr{C}^{2}$ en $\bar{U}$?
NOTA: En la parte (b) de este problema, Evans gotas de la hipótesis de que la $u$ $\mathscr{C}^{2}$ hasta el límite, sólo que $u\in\mathscr{C}^{2}(U^{+})\cap\mathscr{C}(\bar{U})$. Pero la sugerencia de prueba es totalmente diferente: se aplica la integral de Poisson de la fórmula para funciones armónicas en el disco. De hecho, uno resuelve el problema $$\left\{\begin{array}{rl} \Delta w=0&\text{in}\;U\\ w=g&\text{on}\;\partial U,\end{array}\right.$$ donde $g(x)=u(x)$ sobre el límite superior e $g(x)=-u(-x)$ sobre el límite inferior. La solución está dada por la integral de Poisson de la fórmula y cálculo de $w(x^{+})$ donde $x^{+}\in\mathbb{R}^{n}_{+}\cap U$, nos encontramos con $w(x^{+})=0$. A partir de la singularidad, llegamos a la conclusión de que $w(x)=v$ anterior (la extensión impar de $u$), y el teorema queda demostrado.
De todos modos, si alguien me pudiera ayudar a rellenar los detalles de la media del valor de la propiedad en el argumento de la primera parte, te lo voy a agradecer!
