Existen $x_{1},x_{2},\cdots,x_{k}$ tal % de desigualdad de dos $|x^b_{1}+x^b_{2}+\cdots+x^b_{k}|\ge 1$

Question

Este problema es un problema de competencia de matemáticas Sydney 2014 (11 grado). Parece difícil de resolver. (Anteriormente postee la n = 2 caso para que Nicolas André y Dan Robertson propuso soluciones)

Let $A\subseteq X=\{1,2,3,\cdots,n\}$, $B=X\setminus A$. Muestran que: Existen números complejos $x_{1},x_{2},\cdots,x_{k}(k\ge 2)$ tal que: $$\begin{cases} \forall a\in A,|x^a_{1}+x^a_{2}+\cdots+x^a_{m}|\le\frac{1}{a} \text{ for all } m \le k\\ \forall b\in B,|x^b_{1}+x^b_{2}+\cdots+x^b_{k}|\ge 1. \end{casos} $$

Answer 1

Creo que hay algunas restricciones en $A$$B$. Por ejemplo, si $k=2$, supongamos $27,243\in A$$81\in B$. A continuación, establezca $y:=x_1^{27}$ $z:=-x_2^{27}$ , y obtener $$ |y-z|\le \frac{1}{27},\quad |y^3-z^3|\ge 1\quad\text{y}\quad |y^9-z^9|\le \frac{1}{243}. $$ Esto es imposible para cada par de $y,z\in\Bbb{C}$, desde $$ y^3-z^3=(y-z)(y^2+yz+z^2)\quad\text{y}\quad y^9-z^9=(y^3-z^3)(y^6+y^3z^3+z^6). $$ De hecho, si escribimos $\Delta:=z-y$,$27\le |y^2+yz+z^2|=|3y^2+3y\Delta+\Delta^2|$, a partir de que $|y||y+\Delta|\ge 9-\frac{|\Delta|^2}{3}$ sigue. Por lo tanto $$ (1)\qquad\qquad|y|\ge 2.5, $$ desde $|y|<2.5$ conduce a la contradicción $|y||y+\Delta|<2.5(2.5+\frac{1}{27})<7<9-\frac{|\Delta|^2}{3}$.

Pero entonces, usando (1) se puede probar que $$ |y^6+y^3z^3+z^6|\ge 3|y|^6-|9\Delta y^5+18 \Delta^2 y^4+21 \Delta^3 y^3+15 \Delta^4 y^2+6 \Delta^5 y+\Delta^6|>100, $$ lo que se contradice con la por encima de las desigualdades. (Una descripción detallada de la prueba de la última desigualdad se puede lograr estableciendo $f(t)=3t^6-(9dt^5+18d^2 t^4+21 d^3 t^3+15 d^4 y^2+6 d^5 t+d^6)$$d=1/27$, la informática, la $f(2.5)>100$, y observando que $f^{(k)}(2.5)>0$ $k=1,\dots,5$ $f^{(6)}(t)=2160>0$ todos los $t$, lo que demuestra que $f$ es el aumento de $t>2.5$.)