Tiempo de parada en un paseo aleatorio asimétrico

Question

Supongamos que tenemos un paseo aleatorio asimétrico cuyo paso $x_i$ se distribuye como $P(\xi_i = 1) = p$ y $P(\xi_i = -1) = 1-p = q$ donde $p >1/2$ . La hora de golpear, $T_x$ se define como $\inf{\{n : S_n = x\}}$ donde $S_n$ representa el simple paseo $S_n = \sum_{i \leq n} \xi_i$ . Se puede demostrar que $$\Bbb E T_1 = (p-q)^{-1}$$ Sin embargo, ¿cómo podemos deducir de esto que $\Bbb ET_b = b(p-q)^{-1}$ para todos $b>0$ ? He intentado utilizar la ecuación de Wald, pero no parece funcionar.

Answer 1

Veamos qué podemos hacer por $T_2$ . Tenemos $$E[T_2]=E[E[T_2\mid T_1]]$$ ¿Qué es $E[T_2\mid T_1=t]$ ? Tenemos $$T_2\mid\{ T_1=t\}=\inf\{n:S_{t+n}=1\}=t+\inf\{n:S_n=1\}=2t$$ Aquí utilicé el hecho de que su paseo aleatorio es una cadena de Markov homogénea. Así que $E[T_2\mid T_1]=2T_1$ Así pues $$E[T_2]=2E[T_1]=2(p-q)^{-1}$$

Entonces puedes demostrar el resto por inducción.

Answer 2

Puede escribir $$T_2=T_1+(T_2-T_1)$$ donde $T_1$ y $T_2-T_1$ tienen la misma distribución por la propiedad de Markov fuerte. Por tanto, $$\Bbb ET_2=\Bbb E[T_1+T_2-T_1]=\Bbb E[T_1]+\Bbb E[T_2-T_1]=2(p-q)^{-1}$$