Pruebalo $\lim_{n\to\infty}|f(x_n+\xi)-f(x_n)|=0$

Question

Que $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ ser continua y acotada. Que $\xi>0$. Muestran que existe una secuencia $(x_n)$ $(0,+\infty)$ $x_n\to\infty$ s.t.

$$\lim_{n\to\infty}|f(x_n+\xi)-f(x_n)|=0.$$

He intentado probar por la contradicción. Asumir que esto era falso, entonces para cualquier secuencia $(x_n)$ $x_n\to\infty$ y para cualquier $n\in\mathbb{N}$, existe $\varepsilon>0$ y $n_0\geqslant n$ s.t.

$$|f(x_{n0}+\xi)-f(x{n_0})|\geqslant\varepsilon$$

Quiero concluir que en este caso, $f$ no puede delimitarse. Estaba atrapado aquí. ¿Estoy en el camino correcto? ¿Podemos demostrar este directamente? Es decir, sin prueba por la contradicción.

Answer 1

Tenemos que probar que para todo $x_0$, $\inf_{x\geqslant x_0}|f(x+\xi)-f(x)|=0$. Si logramos hacer eso, entonces ese $x_1$ tal que $|f(x_1+\xi)-f(x)|\lt 1$, $x_2\geqslant x_1+1$ tal que $|f(x_2+\xi)-f(x_2)|\lt 1/2$ y, más generalmente, $x_{n+1}\geqslant x_n+n$ tal que $|f(x_n+\xi)-f(x_n)|\leqslant n^{-1}$.

Este infimum existe y es finito desde $f$ está acotada. Fix $x_0$ y deje $\alpha:=\inf_{x\geqslant x_0}|f(x+\xi)-f(x)|$. Suponga que $\alpha$ es positivo. Definir $g(x):=f(x+\xi)-f(x)$: $g$ es continua y no se desvanecen en $[x_0,\infty)$, por lo tanto, teniendo en cuenta $-f$ en lugar de $f$, podemos asumir que $g(x)\geqslant \alpha\gt 0$ todos los $x\geqslant x_0$. El uso de este con $x:=x_0+j\xi$, obtenemos que $$f(x_0+n\xi)-f(x_0)\geqslant n\alpha.$$ Desde $f$ es acotado, obtenemos $\alpha\leqslant \frac{2\sup|f|}n$, por lo tanto $\alpha=0$, una contradicción.

Answer 2

He aquí una prueba, en parte por la contradicción, que separa las funciones de las dos condiciones en $f$.

Deje $F(x)=f(x+\xi)-f(x)$. Desde $f$ es continua, por lo que es $F$. Si $F$ toma el valor de $0$ infinitamente a menudo, hemos terminado. De lo contrario, sin pérdida de generalidad (por la reflexión a través de la $x$-eje y el desplazamiento del origen hacia la derecha, según sea necesario), podemos asumir que $F(x)\gt0$ todos los $x$. Deje $L=\liminf_{x\to\infty} F(x)$. Si $L=0$, hemos terminado. Tan sólo necesitamos mostrar que $L\gt0$ conduce a una contradicción.

Si $L\gt0$, $F(x)\gt L/2$ todos los $x$ mayor que en el $x_0$ (que también podríamos suponer sin pérdida de generalidad, se $0$, pero vamos no). Pero, a continuación,

$$f(x_0+n\xi)=F(x_0+(n-1)\xi)+F(x_0+(n-2)\xi)+\cdots+F(x_0)+f(x)\gt nL/2+f(x_0)$$

implica $f$ es ilimitado, que es el deseado contradicción.