100 personas con 100 dólares cada uno, dar 1 dólar al azar otra persona. ¿Lo que ' s la distribución?

Question

Fuente: http://www.decisionsciencenews.com/2017/06/19/counterintuitive-problem-everyone-room-keeps-giving-dollars-random-others-youll-never-guess-happens-next/

"Imagina una habitación llena de 100 personas, con 100 dólares a cada uno. Con cada tick del reloj, cada persona con el dinero que le da un dólar a uno elegido al azar de otra persona. Después de algún tiempo avanza, cómo estará el dinero distribuido?"

He visto varios posts en el blog sobre esto que se utiliza el código para simular la distribución. Mi pregunta es: ¿cuál es la razón de que la distribución se hace sesgada, en lugar de quedarse uniforme, lo que las matemáticas necesito para entender este problema?

Inicialmente se trató de razonar con el valor esperado, que cada persona tiene en cada momento un valor esperado de $1. Así que pensé que iba a ser uniforme. Claramente esto puede cambiar tan pronto como una persona se va a la bancarrota, entonces el valor esperado de las gotas.

Gracias

Answer 1

Una perfecta distribución es raro porque es demasiado regular. Hay tan muchas irregular afirma que su probabilidad es mucho mayor. En la primera jugada, la probabilidad de que la distribución permanece exactamente $100$ por persona es la probabilidad de seleccionar una alteración, de los cuales hay alrededor de $\frac {100!}e,$ $100^{100}$ opciones para pagar dólares. Este es pequeño, alrededor de $3 \cdot 10^{-43}$.

Lo que realmente tenemos es un(a la rápida actuación a) distribución estacionaria. Cada asignación de dólares a las personas, incluyendo a una persona que tiene todos los $10,000,$ tienen una probabilidad de ser lo que se ve en cualquier punto en el tiempo. El agradable regular de distribuciones tienen una baja probabilidad de que, como le específicas de cada una distribución irregular. La irregularidad de la distribución como un todo, tendrán muy alta probabilidad. Es cierto que cada persona es el valor esperado al final de cada pago es $100$, pero eso no significa que es muy probable. Es mucho más raro que todos tienen exactamente $100$.

Añadido: sólo hay un arreglo con cada persona que tenga exactamente $100$. Hay casi $10,000$ con una persona que tenga la $101$, una persona con $99$, y el resto habiendo $100$. Si usted bulto todas las del segundo grupo, que el factor de $10,000$ pantano de la pequeña cantidad que la distribución es menos frecuente. Si todo el mundo tiene diferentes cantidades de dinero, hay $100!\approx 10^{157}$ maneras de asignar números a las personas.

Answer 2

'Valor esperado' no es lo mismo que lo que en realidad sucede. Un dado lanzado un tiempo tiene un valor esperado de 3.5, pero que no es, obviamente, va a ser un resultado real.

Y aun en el caso donde el "valor esperado" es un resultado real, de hecho, puede ser la menos probable resultado real (véase, por ejemplo Polya la Urna)

Así que, esto no decirle por qué usted consigue la distribución de hacerlo, pero sí diré por qué su razonamiento mediante el "valor esperado' no funciona.

p.s. Cuando alguien va a la bancarrota no están fuera del juego; aún pueden recibir de dólares.

Answer 3

Tu pregunta es equivalente a preguntar por qué en nuestro mundo lleva a cabo La segunda ley de termodinámica .

Considerar un cuadro $W=1 \times L=100 \times H=10,000$ y llenar uniformemente con 10.000 cubos unidad, sacudirlo un poco, y el resultado es la respuesta a tu pregunta: la distribución es muy a diferencia a lograr del "caos" (tiene el más bajo posible enthropy), y que es el " termodinámico"sentido de la respuesta de Ross .