Estoy interesado en calcular la siguiente expectativa: $$\mathbb{E}\left[W_T\cdot\int_0^T f(s)\mathrm{d}W_s\right].$$ Aquí $\{W_t\}_{t\ge 0}$ es un estándar $\mathbb{R}$ -movimiento browniano valorado y $f:[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ es un $C^1$ -función. ¿Alguien sabe cómo calcular esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
También estoy estudiando un curso en el que aparecen cosas como esta, así que presentaré un intento pero las correcciones son bienvenidas. Sé que el cálculo estocástico no siempre sigue las reglas.
Lo entiendo: $$\mathbb{E}[W_T \cdot \int_0^Tf(s)dW_s] = \int_0^Tf(s)ds$$
Si $\mathbf{P} = \{t_0 = 0, t_1,t_2,\dots,t_n = T\} $ es una partición etiquetada, $||\mathbf{P}|| = \max_{k=1,\dots,n}{\{t_k -t_{k-1}\}}$ es la "malla" de la partición y $t_k^* \in (t_k, t_{k+1})$ son las etiquetas entonces:
$$\mathbb{E}[W_T \cdot \int_0^Tf(s)dW_s] = \mathbb{E}[W_T \cdot \lim_{||\mathbf{P}|| \rightarrow0}\sum_{k=0}^{n-1}f(t_k^*)(W_{t_{k+1}}-W_{t_k})] = \lim_{||\mathbf{P}|| \rightarrow0}\mathbb{E}[\sum_{k=0}^{n-1}(W_{t_{k+1}}-W_{t_k}) \cdot \sum_{k=0}^{n-1}f(t_k^*)(W_{t_{k+1}}-W_{t_k})] = \lim_{||\mathbf{P}|| \rightarrow0}\mathbb{E}[\sum_{k=0}^{n-1}f(t_k^*)(W_{t_{k+1}}-W_{t_k})^2]$$
Esta línea se desprende de la linealidad de la expectativa (que nos permite tomar las expectativas a término) y de la propiedad de los incrementos independientes (por la que la expectativa de un producto de incrementos disjuntos es cero).
$$= \lim_{||\mathbf{P}|| \rightarrow0}\sum_{k=0}^{n-1}f(t_k^*)\mathbb{E}[(W_{t_{k+1}}-W_{t_k})^2] = \lim_{||\mathbf{P}|| \rightarrow0}\sum_{k=0}^{n-1}f(t_k^*)(t_{k+1}-t_k) = \int_0^Tf(s)ds$$ .
